¿Existe un orden lineal contablemente transitivo no trivial?

Question

Un orden lineal $<$ en un conjunto $S$ es contablemente transitiva si, siempre que $A$ y $B$ son subconjuntos contables de orden isomorfo de $S,$ existe un orden-automorfismo de $S$ que mapea $A$ en $B.$ ¿Existe tal orden en algún conjunto infinito?

Antecedentes

Un libro definido $n$ -transitivo para finito $n>0$ para significar que siempre que $A$ y $B$ son $n$ -de elementos, existe un automorfismo de orden que asigna $A$ en $B.$ Es fácil demostrar que $2$ -transitivo implica $n$ -transitivo para todo finito $n>2.$ He pensado en ampliarlo. Encontré fácilmente un infinito $S$ con ningún miembro mayor, donde, siempre que $A$ y $B$ son subconjuntos de $S$ cada uno de ellos isomorfo de orden a $\omega$ hay un orden-aut de $S$ que mapea $A$ en $B$ . Luego traté de ampliarlo a esta pregunta. Una solución debe tener las siguientes propiedades : Es densa en sí misma, como ningún punto final, no tiene $(\omega,\omega^*)$ y todo subconjunto contable es acotado y cerrado en la topología de orden.

Answer 1

Sí. Toda estructura infinita tiene una fuerte $\omega_1$ -extensión elemental homogénea. Así que se puede empezar con los racionales y encontrar un $\omega_1$ -extensión elemental homogénea $(L, <)$ que es contablemente transitiva siendo $\omega_1$ -homogéneo. Se puede encontrar una construcción aquí . Si además se asume CH, entonces hay un DLO saturado sin puntos finales de tamaño $\omega_1$ (que claramente es muy $\omega_1$ -homogéneo).