Para cualquier vector linealmente independiente, existe un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con esos vectores como sistema de solución básica

Question

Dejemos que $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ sea $s$ vectores que son linealmente independientes. Demostrar que existe un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con $n$ incógnitas tales que $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ es un sistema de solución básica.

¿Puedes entender mi expresión?

¿Insinuaciones?

Answer 1

Supongo que sus vectores viven en ${\bf R}^n$ para algunos $n$ .

Dejemos que $V$ sea el subespacio de ${\bf R}^n$ que generan. Dejemos que $W$ sea el subconjunto de ${\bf R}^n$ formado por todos los vectores perpendiculares a todos los vectores en $V$ ( $x$ perpendicular a $y$ significa el producto punto $x\cdot y$ es cero). Demostrar que $W$ es un espacio vectorial. Sea $\{\,w_1,w_2,\dots,w_r\,\}$ sea una base para $W$ . Considere el sistema $w_i\cdot x=0$ , $i=1,2,\dots,r$ .