Considere una muestra aleatoria de tamaño $n$ de la distribución con pdf $$f(y;\theta)=\theta y^{\theta-1}, 0<y<1, \theta > 0.$$ Quiero encontrar un $1-\alpha$ intervalo de confianza para $\theta$ utilizando la prueba de la razón de verosimilitud. Ya he obtenido la MLE de $\theta$ : Con la función de probabilidad igual a $L(\theta)=\theta^n\prod_{i=1}^ny_i^{\theta-1}$ y una probabilidad logarítmica igual a $\log L(\theta)=n\log(\theta)+(\theta-1)\sum_{i=1}^n\log{y}_i$ el MLE viene dado por $\hat\theta=-n/\sum_{i=1}^n\log{y}_i$ .
He derivado una aproximación $1-\alpha$ intervalo de confianza utilizando la MLE y las propiedades asintóticas de la misma, pero ahora quiero crear un intervalo de confianza utilizando la LRT. Según he entendido, es posible obtener un intervalo de confianza invirtiendo la TRL. Mirando el estadístico LRT,
$$\lambda=\frac{\sup_{\Theta_0}L(\theta|\mathbf y)}{\sup_ {\Theta}L(\theta|\mathbf y)},$$ donde $\Theta$ denota todo el espacio de parámetros, y $\Theta_0$ denota el espacio de parámetros bajo $H_0: \theta\in\Theta_0$ . Así que he intentado introducir el valor del parámetro en $H_0$ en la función de verosimilitud en el numerador (sólo algunos arbitrarios $\theta_0)$ y la MLE de $\theta$ en la función de probabilidad en el denominador, pero no consigo ir más allá y establecer un intervalo de confianza. Supongo que no sé qué hacer a continuación, además de que la expresión se hace grande y parece un lío para trabajar. Esperaba que alguien aquí tuviera alguna idea de cómo construir el intervalo usando la TRL, con mis esfuerzos hasta ahora como ayuda.
