¿Cómo puedo demostrar que las siguientes EDOs tienen solución global?
- $x''+x+x^3=0$
- $x''+x'+x+x^3=0$
- $\begin{cases}x'=4xy^3+2x\\ y'=-4x^3-2y-\cos(x)\end{cases}$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
zack
Puntos
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La intuición de la física suele ayudar con las ODE. El primer problema describe una partícula 1D sujeta a la fuerza $-x-x^3$ (suponiendo una masa unitaria de la partícula). La fuerza es conservadora (como todas las fuerzas 1D que dependen sólo de la posición). Su función potencial es $U(x)=x^2/2+x^4/4$ . Por lo tanto, la energía total $$\frac12 (x')^2+U(x) \tag1$$ debe ser constante en el tiempo. Lo cual se puede comprobar simplemente diferenciando (1) en $t$ Esto no se basa en ningún hecho de la física. Una vez que se sabe que $x$ y $x'$ están uniformemente acotados, el teorema de Picard-Lindelöf le da un intervalo de existencia de tamaño uniforme, lo que implica la existencia global.
El problema 2 sólo se diferencia del 1 por $x'$ que en términos físicos significa fuerza disipativa $-x'$ . Ahora la función (1) será decreciente en el tiempo en lugar de ser constante. Esto implica de nuevo que $x$ y $x'$ están uniformemente acotados, y el resto va como en 1.
No veo un enfoque fácil para el último problema ¿está seguro de que se ha planteado correctamente? En cualquier caso, dos de tres no está mal .
