Geometría algebraica: Sea $\varphi: k[X,Y] \rightarrow k(t)$ definido por $\varphi (f(X,Y)) = f(\frac{1-t^2}{t^2+1},\frac{2t}{t^2+1})$ .

Question

Necesito demostrar que $Ker \varphi = (X^2 + Y^2 - 1)$ . Claramente $(X^2 + Y^2 -1 ) \subset Ker \varphi$ . Para mostrar la otra inclusión, lo hice:

Dejemos que $f(X,Y) \in Ker \varphi$ . Entonces

$$ f(X,Y) = (X^2 + Y^2 - 1)q(X,Y) + r(X,Y)$$

de manera que $r(X,Y)=0$ o $r(X,Y)=g(X)+h(X)Y$ . Si $r(X,Y)=0$ La prueba termina. Entonces, supongamos que $r(X,Y)=g(X)+h(X)Y$ .

Desde entonces $\varphi(r(X,Y)) = 0$ , $r(X,Y) \in Ker \varphi$ eso es:

$$g(\frac{1-t^2}{t^2+1})+h(\frac{1-t^2}{t^2+1})(\frac{2t}{t^2+1}) = 0$$

La pista para terminar, es buscar el grado de esta expresión, pero no puedo ver la contradicción.

Answer 1

Siguiendo donde lo dejaste, vamos a $g(X), h(X) \in k[X]$ sean polinomios no nulos tales que

$$g\left(\frac{1-t^{2}}{t^{2}+1}\right) + h\left(\frac{1-t^{2}}{t^{2}+1}\right)\frac{2t}{t^{2}+1} = 0$$

Despejar los denominadores multiplicando por una potencia adecuada de $t^{2}+1$ existen enteros no negativos $m, n \in \mathbb{Z}$ tal que

$$(t^{2}+1)^{m}g(1-t^{2}) + (t^{2}+1)^{n}h(1-t^{2})2t = 0$$

de donde

$$(t^{2}+1)^{m}g(1-t^{2}) = -(t^{2}+1)^{n}h(1-t^{2})2t $$

Ahora, lo que sea $n, m$ son, $(t^{2}+1)^{m}$ y $(t^{2}+1)^{n}$ son polinomios de grado par en $t$ . Asimismo, sean cuales sean los grados de $g, h$ son, $g(1-t^{2})$ y $h(1-t^{2})$ también son de grado par en $t$ Así que $(t^{2}+1)^{m}g(1-t^{2})$ y $(t^{2}+1)^{n}h(1-t^{2})$ son ambos de grado par en $t$ . Pero entonces esto significa que el LHS de la ecuación anterior tiene grado par en $t$ mientras que el RHS tiene el grado impar en $t$ , lo que da la contradicción deseada.