Si $a^2$ divide $b^2$ entonces $a$ divide $b$

Question

Dejemos que $a$ y $b$ sean enteros positivos. Demostrar que: Si $a^2$ divide $b^2$ entonces $a$ divide $b$ .

Contexto: el profesor escribió esto en mis apuntes sin probarlo, pero no consigo entender por qué es cierto. Agradecería una solución.

Answer 1

Por el teorema fundamental de la aritmética, se puede escribir $a$ y $b$ como un producto de primos, digamos $$ a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r},\qquad b=p_1^{\beta_1}\cdots p_r^{\beta_r} $$ donde $\alpha_i,\beta_i\geq 0$ . Permita que los exponentes sean posiblemente $0$ si tal primo $p_i$ ocurre en la factorización de un entero pero no del otro.

Así que $a^2=p_1^{2\alpha_1}\cdots p_r^{2\alpha_r}$ y $b^2=p_1^{2\beta_1}\cdots p_r^{2\beta_r}$ . Desde $a^2\mid b^2$ por factorización única, necesariamente $2\alpha_i\leq 2\beta_i$ para cada $i$ . Esto implica $\alpha_i\leq\beta_i$ para todos $i$ y así $a\mid b$ .

Answer 2

Decir que $a^2$ divide $b^2$ es decir que $n=b^2/a^2 = (b/a)^2$ es un número entero. Ahora los enteros sólo tienen raíces cuadradas que son enteras o irracionales. Como $b/a$ es racional, debe ser un número entero, es decir, que $a$ divide $b$ .

Answer 3

Llama a un número entero positivo $y$ mala si para algún positivo $x$ tenemos $x^2\mid y^2$ pero $x \nmid y$ .

Si hay enteros positivos malos, hay uno malo más pequeño, digamos $b$ . Desde $b$ es malo, hay un número entero positivo $a$ tal que $a^2 \mid b^2$ pero $a \nmid b$ .

Está claro que $a \ne 1$ . Así que algunos primos $p$ divide $a^2$ . Pero si un primo divide el producto $cd$ , se divide $c$ o $d$ o ambos. Así, $p\mid a$ .

Desde $a^2\mid b^2$ tenemos $p\mid b^2$ y por lo tanto $p\mid b$ .

Dejemos que $a=pa_1$ y $b=pb_1$ . Desde $a^2\mid b^2$ tenemos $(pa_1)^2=q(pb_1)^2$ para algún número entero $q$ y por lo tanto $a_1^2\mid b_1^2$ .

Pero $a_1\nmid b_1$ ya que si lo hace, se puede demostrar fácilmente que $a\mid b$ .

Así que hemos demostrado que $b_1$ es malo. Está claro que $b_1\lt b$ lo que contradice la supuesta minimidad de $b$ .

Concluimos que no hay enteros positivos malos.

Answer 4

Las pruebas dadas utilizan el Teorema de la Factorización Única, o la existencia de GCDs, o algún equivalente, pero el resultado es verdadero incluso en lugares donde no hay ningún GCD, así que debe haber una prueba que no dependa de estas propiedades. Aquí hay una que funciona en el anillo $O_K$ de enteros en un campo numérico $K$ , tanto si hay DGC como si no.

Si $a,b$ están en $O_K$ y $a^2$ divide $b^2$ entonces $b^2=a^2c$ para algunos $c$ en $O_K$ . Así que $\sqrt c=b/a$ está en $K$ . Pero $\sqrt c$ es un cero de $x^2-c$ , un polinomio mónico con coeficientes enteros algebraicos, por lo que $\sqrt c$ es un entero algebraico, por lo que $\sqrt c$ está en $O_K$ Así que $a$ divide $b$ .

Answer 5

Un argumento que utiliza únicamente la definición de divisibilidad y el principio de buen orden:

Dejemos que $k$ sea el menor número entero positivo para el que $a \mid bk$ . Supongamos que $l$ es el número entero para el que $bk = al$ y $m$ es el número entero para el que $b^2 = a^2 m$ . Entonces $a b l = b^2 k = a^2 k m$ para que $b l = a k m$ .

Utilice el algoritmo de división ( una consecuencia fácil del buen ordenamiento ) y escribir $l = kq + r$ con $0 \leq r < k$ . Entonces $br = a k m - b k q = a (k m - l q)$ . Así, $a \mid br$ . A partir de nuestra suposición de que $k$ es el menor número entero positivo para el que $a \mid bk$ encontramos que $r=0$ .

Así, $l = kq$ Así que $bk = al = akq$ Así que $b = aq$ y $a$ divide $b$ .

(Esto implica también que si $a^{2^k} \mid b^{2^k}$ entonces $a \mid b$ . No veo inmediatamente una extensión que funcione para demostrar que si $a^n \mid b^n$ entonces $a \mid b$ pero estoy encantado de editarlo si alguien lo hace).