Si $f(x) = h(x)g(x)$ $h$ diferenciable si $f$ $g$ son?

Question

Sé que si tengo dos funciones diferenciables $f, g$ a continuación, las funciones $(f + g)$ $fg$ también son diferenciables. Me gustaría encontrar una manera de cómo argumentar acerca de la función de $h$ donde \begin{equation} f(x) = (hg)(x) := h(x)g(x) \quad \text{and } f,g \text{ are differentiable} \end{equation}

Para empezar, puedo concluir $h$ es diferenciable en todos los puntos donde $g(x) \neq 0$ ya que no puedo expresar $h$ \begin{equation} h = \frac{f}{g} \end{equation}

Pero para el resto de los puntos no estoy seguro, mi conjetura es que el $h$ es diferenciable, las sugerencias cómo puedo hacer esto en un argumento formal ? O soy yo probablemente equivocado ? En ese caso, ayudaría a imponer más suavidad en $f$$g$, dicen que ambos se $C^\infty$ ?

Muchas gracias!

Answer 1

No. Deje $f(x)=g(x)=0$ todos los $x$. No hay funciones más regular que la constante de funciones. A continuación, $f=gh$ mantiene para cualquier función de $h$, incluso si se está en ninguna parte-diferenciable.

Answer 2

En general la respuesta es no: Considerar la posibilidad de $f(x) = x^3$, $h(x) = |x|$ y $g(x) = \text{sign}(x) x^2$. En este caso, $f$ es diferenciable en a $0$ mientras $h$ no lo es.

Supongo que $C^\infty$ no es suficiente, pero funciones analíticas que deben trabajar si $f$ no es constante cero.