Direcciones en coordenadas esféricas

Question

Digamos que tengo un sistema con coordenadas esféricas estándar. Hay un hombre en esa esfera y está de pie en el ecuador mirando al este. Él elige un ángulo al azar $0°-360°$ y gira tanto en el sentido de las agujas del reloj. Luego comienza a caminar. Suponiendo que su cuerpo esté siempre perpendicular a la superficie, debería dar siempre una vuelta completa y volver al punto de partida si sigue moviéndose, ¿no?

Ahora la pregunta es, si conozco su ubicación actual y conozco el ángulo aleatorio, ¿cómo calculo dónde está su próxima ubicación en coordenadas esféricas? Por siguiente ubicación me refiero a las coordenadas que tiene cuando da otro paso. Un paso siempre lo desplaza una cantidad determinada de longitud de arco.

Answer 1

Las geodésicas en la esfera son grandes círculos, y un gran círculo es la intersección de un plano que pasa por el centro de la esfera con la superficie de la misma.

En el caso general (es decir, el ángulo aleatorio no es un múltiplo de $90^\circ$ ), el hombre cruzará el ecuador en la antípoda de su punto de partida, porque la intersección del plano en el que se encuentra el ecuador con el plano del círculo que sigue es una línea que pasa por el centro de la esfera.

Supongamos que su ángulo está entre $0$ y $180^\circ$ . Entonces empieza por ir al sur del ecuador, alcanza un punto más al sur después de una cuarta parte de su viaje, continúa moviéndose hacia el ecuador y lo alcanza a la mitad del camino, etc. Así, para cualquier latitud entre el ecuador y el punto más al sur, pasa por dos puntos en esa latitud. Por eso es necesario conocer el punto de partida: sin eso, no sabemos si el punto actual es el primero o el segundo punto de esa latitud que alcanza.

Dados el punto inicial y el ángulo, se puede parametrizar el gran círculo, y luego, dado el punto actual, se puede calcular el valor actual de ese parámetro con consideraciones de arco-tan y cuadrante. También se puede calcular la distancia del gran círculo entre el punto inicial y el punto actual tomando el arco-cos de su producto de puntos, y se puede extrapolar utilizando SLERP .