Presentaciones que representan a diferentes grupos.

Question

Utilizando GAP, sabía que los grupos $G=\langle x,y;x^4,x^2y^2,xyxy^{-1}\rangle$ y $H=\langle x,y;x^4,y^4,xyxy^{-1}\rangle$ son diferentes. Pero quiero probarlo.

He intentado hacer algo con las transformaciones de Tietze pero no he conseguido el éxito. Por favor, sugiérame una prueba.

Answer 1

Una pista: Si los grupos fueran isomorfos, sus abelianizaciones también lo serían. Es decir, $G\cong H$ implica $G/[G,G]\cong H/[H,H]$ . Comprueba que $H/[H,H]$ tiene un elemento de orden $4$ , mientras que $G/[G,G]$ no lo hace. (Sólo hay que añadir la relación $xy = yx$ a cada presentación para calcular la abelianización).

Answer 2

Bueno $H$ es visiblemente un producto semidirecto de dos cíclicas de orden $4$ , por lo que tiene orden $16$ .

Pero $G$ tiene un subgrupo normal $\langle x \rangle$ de orden como máximo $4$ y $y^2 \in \langle x \rangle$ Así que $|G| \le 8$ . (De hecho $|G|=8$ .)