Este problema es el Ejercicio de Libro de Matemáticas Discretas, p.24 . El problema dice
Encuentre la forma cerrada de $$S_n = \sum_{1 \leq k \leq n}\frac{1}{k(k + 1)}$$
He probado estas formas sin suerte
Reencuadernación y plus de sí mismos
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Sustituir k por k + 1
Desde $$S_n = \sum_{1 \leq k \leq n}\frac{1}{k(k + 1)}$$ Sustituir k por k + 1 $$S_n = \sum_{1 \leq k + 1 \leq n}\frac{1}{(k + 1)(k + 2)}$$ Suma -1 en toda la inecuación $$S_n = \sum_{0 \leq k \leq n - 1}\frac{1}{(k + 1)(k + 2)}$$ La gama no se corresponde con la original. Por lo tanto, creo que no puedo ir más allá.
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Sustituye k por k - 2
Desde $$S_n = \sum_{1 \leq k \leq n}\frac{1}{k(k + 1)}$$ Sustituye k por k - 2 $$S_n = \sum_{1 \leq k - 2 \leq n}\frac{1}{(k - 2)(k - 1)}$$ Suma +2 en toda la inecuación $$S_n = \sum_{3 \leq k \leq n + 2}\frac{1}{(k - 2)(k - 1)}$$ La gama no se corresponde con la original. Por lo tanto, creo que no puedo ir más allá.
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Sustituye k por n - k + 1
Desde $$S_n = \sum_{1 \leq k \leq n}\frac{1}{k(k + 1)}$$ Sustituye k por n - k + 1 $$S_n = \sum_{1 \leq n - k + 1 \leq n}\frac{1}{(n - k + 1)(n - k + 2)}$$ Afinar la inecuación $$S_n = \sum_{0 \leq n - k \leq n - 1}\frac{1}{(n - k + 1)(n - k + 2)}$$ $$S_n = \sum_{-n \leq -k \leq -1}\frac{1}{(n - k + 1)(n - k + 2)}$$ $$S_n = \sum_{1 \leq k \leq n}\frac{1}{(n - k + 1)(n - k + 2)}$$ Pruebe a sumarlos $$2S_n = \sum_{1 \leq k \leq n}(\frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(n - k + 1)(n - k + 2)})$$ $$2S_n = \sum_{1 \leq k \leq n} \frac{(n - k + 1)(n - k + 2) + k(k + 1)} {k(k + 1)(n - k + 1)(n - k + 2)}$$ Decido no ir más allá. ¿Es este el callejón sin salida?
Además, con el límite extra
Desde $$S_n = \sum_{1 \leq k \leq n}\frac{1}{k(k + 1)}$$ Añadir $$\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$$ a ambos lados $$S_n + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \sum_{1 \leq k \leq n}\frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$$ $$S_n + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \sum_{1 \leq k \leq n + 1}\frac{1}{k(k + 1)}$$ Ajustar la inecuación $$S_n + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{2} \sum_{1 \leq k - 1 \leq n}\frac{1}{k(k + 1)}$$ Sustituir k por k + 1 $$S_n + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{2} \sum_{1 \leq k \leq n}\frac{1}{(k + 1)(k + 2)}$$ A partir de este punto, no tengo ni idea de cómo seguir.
¿Puede alguien darme una pista? Toda sugerencia será apreciada.
