Intento comprobar la siguiente igualdad $$\lim_{x\to 0}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x}{1+k^2x^2}=\int_0^{\infty}\frac{1}{1+t^2}\, dt.$$
He empezado a escribir $x=1/n$ pero no puedo encontrar el truco para convertir la suma en la integral de la derecha.
PS Sé que
$$\int_0^1\frac{1}{1+t^2}\, dt=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1/n}{1+(k/n)^2}$$ pero no estoy seguro de cómo hacer el problema anterior. Se agradece cualquier ayuda.
Para $s \ge k x \ge t > 0$ tenemos $$ \dfrac{1}{1+s^2} \le \dfrac{1}{1+k^2 x^2} \le \dfrac{1}{1+t^2}$$ y por lo tanto si $x > 0$ y $k \ge 1$ , $$\int_{kx}^{(k+1)x} \dfrac{dt}{1+t^2} \le \dfrac{x}{1+k^2 x^2} \le \int_{(k-1)x}^{kx} \dfrac{dt}{1+t^2}$$ Suma de $k=1$ a $\infty$ , $$\int_{x}^\infty \dfrac{dt}{1+t^2} \le \sum_{k=1}^\infty \dfrac{x}{1+k^2 x^2} \le \int_0^\infty \dfrac{dt}{1+t^2}$$
Ahora toma el límite como $x \to 0+$ .
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