Sé que probablemente trataron $\displaystyle f(s,t) = e^{-st} f(t)$ por lo que lo de la integración/diferenciación no tiene importancia, pero lo que me confunde es cuando se deshicieron de la derivada y cómo la " $t$ ¿"Salir"? Es tomar la derivada con respecto a $s$ no $t$ .
Prueba : Considere la identidad $$\frac{dF(s)}{ds} = \frac{d}{ds} \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt.$$ Debido a las suposiciones sobre $f(t)$ podemos aplicar un teorema del cálculo avanzado (a veces llamado La regla de Leibniz ) para intercambiar el orden de integración y diferenciación: $$ \begin{align} \frac{dF(s)}{ds} & = \frac{d}{ds} \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt\\ & = \int_0^{\infty} \frac{d \left(e^{-st} \right)}{ds} f(t) dt\\ & = - \frac{d}{ds} \int_0^{\infty} t e^{-st} f(t) dt\\ & = - \mathcal{L} \{ tf(t) \}(s). \end{align} $$ Así, $$\mathcal{L} \{ tf(t) \}(s) = (-1) \frac{dF(s)}{ds}$$
