demostrar que $ \ f'(x_1)>0 \ \ and \ \ f'(x_2) <0 \ $

Question

Dejemos que $ f $ sea diferenciable en $(a,b) $ y continua en $ [a,b] $ con $ f(a)=f(b)=0 .$ Demostrar que si $ f(c)≠0 $ para algunos $ c∈(a,b) $ existe $ x_1,x_2∈(a,b) $ tal que $ \ f'(x_1)>0 \ \ and \ \ f'(x_2) <0 \ $

Respuesta:

Por el teorema de Rolle, tenemos

$ f'(c)=0 \ $ para algunos $ c \in (a,b) \ $

Por lo tanto, existe $ x_1 , \ x_2 \in (a,b) \ $ tal que $ \ f'(x_1)>0 \ \ and \ \ f'(x_2) <0 \ $

Answer 1

Puede utilizar el MVT (es decir, el teorema de Lagrange)

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem

Por ejemplo

$f(c)-f(a)=f’(x_1)(c-a)>0$ para algunos $x_1\in(a,b)$ así $f’(x_1) >0$

y

$f(b)-f(c)=f’(x_2)(b-c)<0$ para algunos $x_2\in(a,b)$ así $f’(x_2) <0$

Answer 2

Podemos suponer que $f(c)>0$ . Sea $x_0 \in [a,b]$ tal que $f(x_0) = \max_{x \in [a,b]}f(x)$ . Entonces tenemos

$f(x_0) \ge f(c) >0, x_0 \in (a,b)$ y $f'(x_0)=0$ .

Supongamos ahora que $f'(x)\le 0$ para todos $x \in (a,x_0)$ . El $f$ está disminuyendo en $[a,x_0)$ Por lo tanto $f(x_0) \le f(a)=0$ una contradicción.

Por lo tanto, $f'(x_1)>0$ para algunos $x_1 \in (a,x_0)$ .

De la misma manera obtenemos unos $x_2 \in (x_0,b)$ tal que $f'(x_2) <0$ .

Answer 3

Si existe $f(c) \gt 0$ la curva se encuentra sobre el eje x con una pendiente ascendente en algún punto de la curva desde el punto a en el eje x como $f(a) =0$ y para alcanzar de nuevo el punto b en el eje x $f(b) =0$ Debería ser descendente en algún punto de la curva. Esta inclinación ascendente y descendente de la curva asegura que existe algún $x_1$ tal que $f'(x_1) \gt 0$ y algunos $x_2$ tal que $f'(x_2) \lt0$ .

Lo contrario ocurre cuando $f(c)\lt 0$ .