Distancia Hamming entre primos consecutivos

Question

La distancia de Hamming entre cadenas de igual longitud es el número de desajustes entre las cadenas

MYSTERY
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Esta distancia puede definirse para los números binarios como

1000111001
0010111011
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La longitud binaria de un número $n$ es $\lfloor^2\log n\rfloor+1$ y por lo tanto $\operatorname{ham}(m,n)\leq \lfloor^2\log \max(m,n)\rfloor +1$ . Para una prima impar $p$ el dígito menos significativo es $1$ y $\operatorname{ham}(p,p')\leq \lfloor^2\log p'\rfloor$ , donde $p'$ es el primo sucesor de $p$ . Una condición necesaria entonces para $\operatorname{ham}(p,p')=\lfloor^2\log p'\rfloor$ es que $p\lessapprox 2^k$ y $p'\gtrapprox 2^k$ para algunos $k$ .

3 011     61 0111101     4093 0111111111101
5 101     67 1000011     4099 1000000000011

Para la primera $100,000,000$ primos sólo hay cuatro valores $p'\in\{3,5,67,4099\}$ para lo cual $\operatorname{ham}(p,p')=\lfloor^2\log p'\rfloor$ .

Son razones para creer que sólo hay un número finito de primos sucesores con esa propiedad? ¿Existe un valor de $p'>4099$ con el propiedad?

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Me acabo de dar cuenta de que $\operatorname{ham}(p,p')=\lfloor^2\log p'\rfloor$ es equivalente a la de $p+p'=2^r$ para algunos $r$ .

Answer 1

No es una respuesta completa:
Bueno, lo que buscas son primos consecutivos de la forma: $$p=2q+1,p'=2(2^n-q-1)+1$$ donde $0<q<2^{n}$
(eso es porque $2^n-1-q$ es simplemente una inversión de bits)
Ahora, tomemos ambas ecuaciones módulo 3: $$p\equiv 2q+1\implies q\equiv0,2$$ $$p' \equiv 2(2^n-1-q)+1\implies 0,1 \equiv2^n-q$$ si $q\equiv 0$ , $2^n-q$ no puede dividir 3 y por lo tanto $2^n\equiv1$ y por lo tanto $n$ está en paz.
si $q\equiv 2$ , $0,1\equiv2^n-2\implies0,2\equiv2^{n-1}-1\implies 0,1\equiv 2^{n-1}$ y por lo tanto $n$ es impar.
O, dicho de otro modo, si $n$ es incluso que $q\equiv 0 \pmod 3$ y si $n$ es impar que $q\equiv 2 \pmod 3$ .
Otra propiedad de este par es que $p'+p=2^{n+1}$ que tienen algo de estudio:
Encontré esto https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_223.htm