Para la ecuación específica que has proporcionado, parece innecesario utilizar operadores diferenciales. En su lugar, basta con utilizar el truco de cambio de variable que se ha adoptado para tratar la ecuación de onda estándar.
Definir \begin{align} t&=\xi+\eta,\\ x&=\xi-\eta, \end{align} cuya inversa es \begin{align} \xi&=\frac{t+x}{2},\\ \eta&=\frac{t-x}{2}. \end{align} Con estas anotaciones, tenemos \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\eta}\right),\\ \frac{\partial}{\partial x}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial\xi}-\frac{\partial}{\partial\eta}\right). \end{align} Gracias a esta transformación, la ecuación original $$ u_{tt}-u_{xx}-u_t-u_x=0 $$ es ahora equivalente a $$ u_{\xi\eta}-u_{\xi}=0, $$ cuya solución general está obviamente a la vista.
En primer lugar, $$ \frac{\partial}{\partial\eta}u_{\xi}-u_{\xi}=0 $$ es una ecuación diferencial ordinaria, que se puede reexpresar como $$ \frac{\partial}{\partial\eta}\left(e^{-\eta}u_{\xi}\right)=0. $$ Su solución general es $$ e^{-\eta}u_{\xi}=\Phi'(\xi)\iff u_{\xi}=e^{\eta}\Phi'(\xi). $$
A continuación, integrar la última ecuación con respecto a $\xi$ y $$ u=e^{\eta}\Phi(\xi)+\Psi(\eta). $$
Esta es la solución general que se busca. Siguiendo los pasos anteriores, está claro que no hemos dejado de lado ninguna posibilidad.
Por último, reescribe la expresión utilizando $t$ y $x$ y la solución general es $$ u(t,x)=\exp\left(\frac{t-x}{2}\right)\Phi\biggl(\frac{t+x}{2}\biggr)+\Psi\biggl(\frac{t-x}{2}\biggr). $$
Espero que esto le sirva de ayuda.
Editar: Solución alternativa utilizando el método del operador diferencial parcial
Siguiendo lo propuesto por @UriaMor en la pregunta, definir un operador diferencial parcial \begin{align} P&=\partial_t^2-\partial_x^2-\partial_t-\partial_x\\ &=\left(\partial_t+\partial_x\right)\left(\partial_t-\partial_x-I\right). \end{align} Así, la ecuación original $Pu=0$ podría descomponerse mediante dos ecuaciones \begin{align} \left(\partial_t-\partial_x-I\right)u&=v,\\ \left(\partial_t+\partial_x\right)v&=0. \end{align} La solución general podría obtenerse entonces resolviendo estas dos ecuaciones mediante el método de las características.
En primer lugar, resolver la segunda ecuación con respecto a $v$ . Tenga en cuenta que $$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}v(t,x_0+t)=\frac{\partial v}{\partial t}(t,x_0+t)+\frac{\partial v}{\partial x}(t,x_0+t)=0 $$ es válida para todos los $x_0$ . Por lo tanto, $$ v(t,x_0+t)=v(0,x_0):=\Phi(x_0). $$ Sustituir $x_0+t$ por $x$ en esta última ecuación, y obtenemos $$ v(t,x)=\Phi(x-t). $$
En segundo lugar, sustituir este último resultado en la primera ecuación con respecto a $u$ es decir, $$ u_t(t,x)-u_x(t,x)-u(t,x)=v(t,x)=\Phi(x-t). $$ Del mismo modo, observe que $$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}u(t,x_0-t)=\frac{\partial u}{\partial t}(t,x_0-t)-\frac{\partial u}{\partial x}(t,x_0-t), $$ para la cual la ecuación anterior, cuando se considera a lo largo de las características $\left(t,x\right)=\left(t,x_0-t\right)$ implica que $$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}u(t,x_0-t)-u(t,x_0-t)=\Phi((x_0-t)-t)=\Phi(x_0-2t), $$ o de forma equivalente, $$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[e^{-t}u(t,x_0-t)\right]=e^{-t}\Phi(x_0-2t). $$ Por lo tanto, obtenemos \begin{align} e^{-t}u(t,x_0-t)-u(0,x_0)&=\int_0^te^{-s}\Phi(x_0-2s){\rm d}s\\ &=e^{-x_0/2}\int_0^te^{(x_0-2s)/2}\Phi(x_0-2s){\rm d}s\\ &=-\frac{1}{2}e^{-x_0/2}\int_{s=0}^{s=t}e^{(x_0-2s)/2}\Phi(x_0-2s){\rm d}\left(x_0-2s\right). \end{align} Definir $$ \Psi(x)=\int^xe^{s/2}\Phi(s){\rm d}s, $$ y la igualdad anterior se lee $$ e^{-t}u(t,x_0-t)-u(0,x_0)=-\frac{1}{2}e^{-x_0/2}\left(\Psi(x_0-2t)-\Psi(x_0)\right), $$ o de forma equivalente, \begin{align} u(t,x_0-t)&=e^tu(0,x_0)-\frac{1}{2}e^{t-x_0/2}\left(\Psi(x_0-2t)-\Psi(x_0)\right)\\ &=e^{t-x_0/2}\left[e^{x_0/2}u(0,x_0)-\frac{1}{2}\left(\Psi(x_0-2t)-\Psi(x_0)\right)\right]. \end{align} Definir \begin{align} \phi(x)&=e^{x/2}u(0,x)+\frac{1}{2}\Psi(x),\\ \psi(x)&=-\frac{1}{2}e^{-x/2}\Psi(x), \end{align} y el resultado anterior va que $$ u(t,x_0-t)=e^{t-x_0/2}\phi(x_0)+\psi(x_0-2t). $$ Por último, sustituya $x_0-t$ por $x$ y finalmente se obtiene $$ u(t,x)=\exp\left(\frac{t-x}{2}\right)\phi(x+t)+\psi(x-t), $$ lo que concuerda con el resultado que hemos calculado anteriormente.
