Dejemos que $f: \Omega \to \mathbb{R}^n$ sea un campo vectorial continuo, con $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ abierto. Deje que $x: (a, ) \to \Omega$ sea una solución de la ecuación diferencial autónoma $\dot{x} = f(x)$ que converge contra un $x_0 \in \Omega$ .
Se supone que debo mostrar que $f(x_0) = 0$ , lo que significa $x_0$ es una solución constante del sistema, por integrando $\dot{x}(t)$ para grandes $t$ .
Creo que podría haber resuelto este problema, pero mi solución parece demasiado simple, y extrañamente, el "integrar $\dot{x}$ " -parte que se indica explícitamente en la tarea me parece un poco arbitraria si mi solución es realmente correcta. Por lo tanto, me pregunto si he hecho algo mal, o si esta parte en la tarea es realmente innecesaria; y me gustaría que alguien pudiera echar un vistazo.
Ahora, primero, ya que $lim_{t \to \infty} x(t) = 0$ tenemos que cada coordenada de $x(t)$ converge contra la coordenada correspondiente de $x_0$ por lo que se demuestra que cada coordenada de $f(x_0)$ es $0$ me daría el resultado deseado.
Para demostrarlo, primero he seguido la "pista" para integrar $\dot{x}(t) = f(x(t))$ . Parece que la integral que surge se acercaría entonces a $0$ tanto como queramos: por ejemplo, tendríamos que $lim_{t \to \infty} \left\lvert\int_t^{t+1} f_i(x(s))ds\right\lvert = 0$ . Por lo tanto, cualquier antiderivada de $f_i$ se acercaría mucho a una función constante. Ahora me parece que esto ya sería suficiente para argumentar que, porque $f$ (y por lo tanto cada $f_i$ ) es continua, tenemos que $f_i(x_0) = 0$ porque $lim_{t \to \infty} f_i(x(t)) = 0$ . Eso me pareció plausible.
Pero espera. ¿No podríamos entonces dejar de lado el "integrar $\dot{x}(t)$ ¿"Parte"? Si $lim_{t \to \infty} x_i(t) = c_i$ (con $c_i$ siendo el $i$ -coordenada de $x_0$ entonces $lim_{t \to \infty} \dot{x}_i(t) = 0 = lim_{t \to \infty} f_i(x(t))$ ¿que daría el mismo resultado? ¿O estoy pasando por alto algo aquí? Me parece extraño que se indique esto en la tarea si al final no es necesario.
