Polinomio cúbico al que le falta el término lineal

Question

$$x^3+4x^2+1=0$$

Esta es la primera tarea para mi clase de precálculo. El primer problema que pude resolver: $$x^2+4x+1=0$$ $$(x+2)^2-3=0$$ $$x=-2\pm\sqrt3$$ He estado alejado de las matemáticas durante un tiempo, así que he comprado unos cuantos libros de autoaprendizaje desde el preálgebra hasta el precálculo ( La guía completa para idiotas del precálculo , Precálculo para Dummies , Matemáticas de precálculo en una cáscara de nuez , Álgebra práctica ). No parece que tengan un problema como el mío y si tienen algo cercano, pude solucionar ese problema limpiamente.

Mi amigo, que ha pasado por su pista de matemáticas, ya intentó resolver esto y no pudo. Me sugirió que utilizara Wolfram Alpha, lo que hice, pero me devolvió un par de raíces complejas completamente torcidas: $$x=-\frac43+\frac83 (1\pm i\sqrt3)\sqrt[3]{\frac2{155-3\sqrt{849}}} +\frac16(1\mp i\sqrt3)\sqrt[3]{\frac{155-3\sqrt{849}}2}$$

Answer 1

Dadas las feas raíces de Wolfram, aquí una forma de aproximar estas raíces.

En primer lugar aplicando la regla de los signos (Descartes) se tiene $f (x) = x^3 + 4x^2 + 1$ y $f (-x) = - x^3 + 4x^2 + 1$ tienen una combinación de $ 0 + 1 = 1 $ cambio de signo y luego el grado que se $3$ hay al menos $3-1$ dos raíces no reales. Así sabemos que hay dos raíces no reales y una raíz real.

Además de $f(-4)=1$ y $f(-5)=-24$ entonces la raíz real $x_1$ está entre $-5$ y $-4$ . Se puede hacer una aproximación $x_1\approx -4.06$ . Por lo tanto, el cociente (aproximado) da $$f(x)\approx (x+4.06)(x^2-0.06x+0.2436)$$ Resolviendo ahora la ecuación cuadrática se tiene $$x_{2,3}\approx 0.03\pm0.492646i$$ Comprobar el grado de aproximación, comparando con Wolfram, es tu trabajo.