Base de un subespacio vectorial considerando derivadas de polinomios

Question

Tengo problemas para encontrar los vectores base del siguiente espacio vectorial. No entiendo cómo extraer una solución numérica a este problema:

$$\{p(x) ∈ \mathbb{R}^3[x] :\, p(1) = p'(2) = p''(3) = 0\}$$

Answer 1

Tenemos que

• $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

y

• $p(1)=a+b+c+d$
• $p'(2)=12a+4b+c$
• $p''(3)=18a+2b$

Ahora, a partir de las condiciones dadas, obtenemos $3$ ecuaciones para $a,b,c,d$ y por tanto, como solución, un subespacio de dimensión $1$ .

Answer 2

El subespacio puede verse como el núcleo del mapa lineal $$ T\colon \mathbb{R}^3[x]\to \mathbb{R}^3, \qquad T(p)=\begin{bmatrix} p(1) \\ p'(2) \\ p''(3) \end{bmatrix} $$ Calculemos la matriz con respecto a la base estándar $\{1,x,x^2,x^3\}$ . Desde $$ T(1)=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad T(x)=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad T(x^2)=\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \quad T(x^3)=\begin{bmatrix} 1 \\ 12 \\ 18 \end{bmatrix} $$ la matriz es (seguida de la reducción de filas) \begin{align} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 2 & 18 \end{bmatrix} &\a \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{bmatrix} && R_3\gets \tfrac{1}{2}R_3 \\[4px]&\a \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 0 & -24 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{bmatrix} && R_1 obtiene R_1-R_3\quad R_2 obtiene R_2-4R_3 \N-[4px]&\Nhasta \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 16 \\ 0 & 1 & 0 & -24 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{bmatrix} && R_1\gets R_1-R_2 \fin{span} El sistema lineal homogéneo asociado es \begin{cases} x_1+16x_4=0\\ x_2-24x_4=0\\ x_3+9x_4=0 \end{cases} por lo que una base del espacio nulo viene dada por el vector único \begin{bmatrix} -16 \\ 24 \\ -9 \\ 1 \end{bmatrix} que es el vector de coordenadas del polinomio $$ -16+24x-9x^2+x^3 $$ que constituye la base del subespacio.