Mostrar $\frac{3997}{4001}>\frac{4996}{5001}$

Question

Quiero demostrar que $$\frac{3997}{4001}>\frac{4996}{5001}.$$

Por supuesto, con una calculadora, esto es increíblemente sencillo. Pero, ¿hay alguna forma de demostrarlo mediante el análisis puro? Hasta ahora, sólo reescribí las fracciones:

$$\frac{4000-3}{4000+1}>\frac{5000-4}{5000+1}.$$

Answer 1

Resta $1$ de ambos lados:

$$-\frac{4}{4001} > -\frac{5}{5001}$$

Retire los negativos y dé la vuelta a la desigualdad:

$$\frac{4}{4001} < \frac{5}{5001}$$

Esto equivale a

$$\frac{1}{1000.25} < \frac{1}{1000.2}$$

Multiplica ambos lados por $1000.25 \cdot 1000.2$ para obtener

$$1000.2 < 1000.25$$

Como esto es cierto, la desigualdad original debe ser cierta.

Answer 2

Siguiendo con su planteamiento, escriba

$\frac{4000(1-3/4000)}{4000(1+1/4000)}>\frac{5000(1-4/5000)}{5000(1+1/5000)}$

Luego cancela en ambos lados y multiplica por la cruz:

$(1-\frac{3}{4000})(1+\frac{1}{5000})>(1+\frac{1}{4000})(1-\frac{4}{5000})$

Ahora, expande ambos lados:

$1+\frac{1}{5000}-\frac{3}{4000}-\frac{3}{20000000}>1+\frac{1}{4000}-\frac{4}{5000}-\frac{4}{20000000}$

$\frac{5}{5000}-\frac{4}{4000}+\frac{1}{20000000}>0$

$\frac{1}{20000000}>0$ .

Dado que lo anterior es claramente cierto, la afirmación original también lo es.

Answer 3

Primero un pequeño pero bonito desvío.

$a_n=\frac {n}{n*1000 +1} = \frac 1{1000 + 1/n} $ .

En $n $ aumenta $1/n $ se hace más pequeño, por lo que $a_n $ se hacen más grandes. Así que $a_1 < a_2 < a_3 <.... $ .

Así que $\frac {3997}{4001} = 1 - \frac 4 {4001} = 1 - a_4 > 1 - a_5 = 1 - \frac 5 {5001}=\frac {4996}{5001} $ .

Vale, esto no era tan sencillo o tan fácil como los otros pero en mi opinión era i) informativo como por qué debería ser cierto y ii) bonito.

Answer 4

Esto es similar a algunos otros puestos, pero me parece un poco más simple y más fácil, y no tiene fracciones.

$$\frac {4000-3} {4000+1} \gt \frac {5000-4} {5000+1}$$

Multiplicar por $({4000+1})*({5000+1)}$

$$({4000-3})*({5000+1}) \gt ({5000-4})*({4000+1})$$

Resta 20.000.000 ( $5000*4000$ )
Resta 5000
Resta 4000

$$-3-(4*5000) \gt -4-(5*4000)$$

Añade 20000 $$-3 \gt -4$$

Answer 5

Comience por observar que $\frac{3996}{4000}=\frac{4995}{5000}$ y piensa en estas fracciones como $\frac{\mbox{wins}}{\mbox{games played}}$ para ajedrecistas $A$ ( $3996$ gana) y $B$ ( $4995$ gana). Una victoria adicional contribuirá más a mejorar la $A$ que al jugador $B$ 's.