Estoy tratando de calcular una ecuación de avance de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck definida en la línea siguiente para usarla en MATLAB para hacer imágenes bonitas
$$dX_{t} = \theta(X_{t}-\mu)dt + \sigma dW_{t}$$
resolviendo la ecuación diferencial mediante la variación de los parámetros en
$$dX_{t+\Delta t} = \theta(X_{t+\Delta t}-\mu) d(t+h) + \sigma dW_{t+h}.$$
Después de un poco de trabajo, termino con lo siguiente:
$$X_{t+\Delta t} = e^{\theta \Delta t}X_{t} + \mu(1-e^{\theta\Delta t}) + \sigma e^{\theta(t+\Delta t)}\int_{t}^{t+\Delta t}e^{-\theta s}dW_{s}.$$
Por lo que he visto en Internet, todo parece estar bien, excepto que la última integral debe ser algo así como
$$\sigma e^{\theta(t+\Delta t)}\int_{t}^{t+\Delta t}e^{-\theta s}dW_{s} = \sigma \sqrt{-\frac{1-e^{-2\theta \Delta t}}{2\theta}}Z_{t},\quad Z_{t}\sim N(0,1)$$
pero no sé cómo integrar esto con respecto a $W_{s}$ . No sé mucho sobre el cálculo estocástico y esto no es una asignación, así que estoy realmente luchando tratando de averiguar qué herramienta que necesito para terminar este cálculo.
Una observación que hice es que el resultado que se supone que obtengo parece la raíz cuadrada del resultado de aplicar la isometría de Ito al $\int \cdot \,dW_{s}$ término, pero no entiendo dónde está el $Z_{t}$ o por qué la isometría de Ito es siquiera relevante para mi tarea si no estoy tratando de calcular la expectativa o la varianza.
Mi otra observación es que si se tratara de una integral no estocástica, en este punto probablemente querría aproximar la integral con cuadratura gaussiana o algo así, pero tampoco estoy seguro de que esa sea la forma correcta de pensarlo.
