Definición del ángulo para $\text{SO}(3)$ matrices

Question

Mi objetivo es demostrar que una matriz en $\text{SO}(3)- \{I\}$ está completamente determinado por su ángulo de rotación y su eje.

Supongamos que $A\in \text{SO}(3)$ y que $f$ sea el único operador lineal asociado a. Entonces, si $A$ no es la identidad hay un único subespacio unidimensional $a$ de $\mathbb{R}^3$ tal que $v \in a \implies Av=v$ .

$a$ se define como el eje de rotación.

Ahora bien, como $a$ es único dado $A\neq I$ así es $a^\perp$ y ambos son $f$ -invariante de subespacios. A partir de aquí, ¿cómo puedo definir el ángulo de rotación $\theta$ ?

He aquí un posible enfoque.

Definir la restricción $f'$ de $f$ : $f':a^\perp \rightarrow a^\perp$ . Desde $f$ está asociada a una matriz ortogonal es una isometría, y también lo es $f'$ . En $f'$ la restricción de un mapa lineal también es lineal. Además $\det(f)=\det(f')=1$ por el siguiente razonamiento:

elija una unidad $v\in a$ y completa $v$ à $\{v,w,u\}$ una base ortonormal de $\mathbb{R}^3$ . La matriz $P$ de cambio de base es ortogonal, y $B=P^{-1}AP$ la matriz de $f$ por ejemplo $\{v,w,u\}$ es todavía ortogonal. Será de la forma $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & M \end{pmatrix}$ . Ahora $B^TB=I$ Así que $M^TM=I$ y $\det(f')=\det(M)=\det(B)=\det(A)=\det(f)=1$ .

Así que $f'$ es una rotación en el plano, por lo que está asociada a un ángulo único, y también lo es $A$ , si una orientación del plano $a^\perp$ se da .

Sí, es cierto, $M\in \text{SO}(2)$ Así que $M=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$ . Esto determina un ángulo único $\theta$ . ¿Cómo puedo estar seguro de que este ángulo no depende de la elección de $\{v,w,u\}$ ? Seguro que su magnitud es "fija", ya que $2\cos(\theta)=\text{tr}(M)=-1+\text{tr}(B)=-1+\text{tr}(A)$ por lo que es invariable bajo el cambio de base.

¿Y el cartel? Si eligiera como base $\{v,u,w\}$ en lugar de $\{v,w,u\}$ entonces $M$ seguiría en $\text{SO}(2)$ por el resultado anterior, su rastro sería el mismo, por lo que la única opción sería $\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$ correspondiente a $-\theta$ .

Definirá el ángulo en $(-\pi, \pi]$ ¿resolver el problema?

¿Es falso que una matriz en $\text{SO}(3)- \{I\}$ está completamente determinado por su ángulo de rotación y su eje? Podría demostrar fácilmente mi afirmación si me dieran el eje con una orientación...

Answer 1

Es cierto que un eje y un ángulo (junto con una orientación del espacio 3) determinan una única matriz de rotación; la fórmula de Rodrigues proporciona el mapeo de $S^2 \times \Bbb R \to SO(3)$ .

No es cierto que un elemento de $SO(3)$ (o, de forma equivalente, una rotación del espacio 3, junto con una orientación del espacio 3) proporcionan un eje y un ángulo únicos, al menos no si queremos que el eje esté en $S^2$ . Pero al menos has resuelto en parte esto diciendo que el eje está en $\Bbb RP^2$ que es una buena opción: una rotación de 90 grados sobre el $z$ -es también una rotación sobre el eje $-z$ eje (por así decirlo), pero en $RP^2$ son el mismo "eje".

El problema es que la rotación de 90 grados sobre $z$ es un $-90$ rotación de un grado en torno a $-z$ . ¿Qué ángulo utilizas? Ya te has topado con este problema, y has visto que es un problema, pero déjame que me explaye un poco. Vamos a nombrar una función basada en la fórmula de Rodrigues: $$ F: S^2 \times \Bbb R \to SO(3) $$ lleva un par eje-ángulo a una matriz de rotación. Hay una acción de $G = \Bbb Z / 2 \Bbb Z = \{e,a\}$ en el dominio, a saber $$ e(v, \theta) = (-v, \theta) $$ El cociente del dominio por esta acción es $\Bbb RP^2 \times \Bbb R$ y esperas que $F$ tiene una inversa cuando miramos este "dominio cociente".

El problema es que $F$ no "pasa al cociente", es decir, es no es cierto que $$ F( a \cdot (v, \theta)) = F(v, \theta), $$ en general. Así que esperar una inversa en este dominio de cociente es inútil.

Sin embargo, hay es otra acción de $G$ en el dominio, a saber $$ a \cdot (v, \theta) = (-v, -\theta), $$ y con este acción, $F$ hace pase al cociente: $$ F(v, \theta) = F(-v, -\theta) $$ Además, si eliminamos $I$ del codominio, y restringir el dominio para que sea $$ S^2 \times ( [-\pi, 0) \cup (0, \pi] ), $$ entonces $F$ después de pasar al cociente, es en realidad $1-1$ y en, por lo que tiene una inversa. Esto significa que se puede asociar, a cualquier rotación, un elemento del cociente, es decir, un par de la forma $$ \{ (v, \theta), (-v, \theta) \} $$ donde $v \in S^2$ .

Ahora podrías decir "Vale, genial. Voy a seleccionar de ese par aquel para el que el ángulo de rotación es positivo " y que realmente funcionará... pero no lo hará dan una función continua, que puede resultar importante para usted.

No estoy seguro de que esto responda a su pregunta, pero espero que al menos tenga algún valor.