Creo que has olvidado que aunque $L$ y $C$ aquí hay parámetros "agrupados" que facilitan la abstracción modelo de la línea de transmisión (idealizada por $LC$ elementos por unidad de longitud), estos parámetros de modelización deben vincularse finalmente a la realidad física y, por tanto, deben incluir necesariamente la geometría.
De hecho, encontrar la relación entre $L,C$ (y también $R,G$ en el caso con pérdidas) y la geometría física de la sección transversal de la línea (o guía de ondas) es un problema clásico conocido y es la premisa de la ingeniería de microondas y de la teoría del campo electromagnético para las ondas guiadas (véase, por ejemplo, Pozar , p.51 en adelante, o los libros de Collin ici y ici ), que son principalmente electrodinámicas aplicadas.
En concreto, aquí están las ecuaciones generales que relacionan estos parámetros con la geometría (sección transversal arbitraria de una línea típica que es longitudinalmente uniforme) [ver Pozar p. 52 y figura 2.2]:
$$ L=\frac{\mu}{|I_{0}|^{2}}\int_{S} \bar{H}\cdot\bar{H}^{*} ds \ \ \ \ \ \ \ \text{H/m}$$
$$ C=\frac{\epsilon'}{|V_{0}|^{2}}\int_{S} \bar{E}\cdot\bar{E}^{*} ds \ \ \ \ \ \ \ \text{F/m}$$
$$ R=\frac{R_{s}}{|I_{0}|^{2}}\int_{C{1}+C_{2}} \bar{H}\cdot\bar{H}^{*} dl \ \ \ \ \ \ \ \Omega\text{/m}$$
$$ G=\frac{\omega\epsilon''}{|V_{0}|^{2}}\int_{S} \bar{E}\cdot\bar{E}^{*} ds \ \ \ \ \ \ \ \text{S/m}$$
donde $S$ es la superficie de la sección transversal (forma arbitraria), $C_{1,2}$ son los contornos interior y exterior de esa sección transversal, con $ds, dl$ siendo los respectivos elementos de superficie y distancia, $R_{s}$ siendo la resistencia de la superficie de cualquier conductor (típicamente forrando los cilindros de los contornos exteriores/interiores) con la matrial dieléctrica que tiene una permitividad imperfecta (compleja) $\epsilon=\epsilon'-i\epsilon''$ y $I_{0}, V_{0}$ son las amplitudes (arbitrarias) de corriente o tensión de la onda viajera en la línea.
Como se puede ver en la integración sobre los contornos y las superficies, e incluyendo el $E$ y $H$ dentro de la estructura, estos cálculos dependerán inevitablemente de la geometría.
Como ejemplo famoso, una línea coaxial que tiene un conductor exterior de radio $b$ radio del conductor interior $a$ con un dieléctrico intercalado entre estos dos cilindros conductores, con una resistencia superficial $R_{s}$ para el conductor, tendrá (después de realizar las integraciones anteriores):
$$ L = \frac{\mu}{(2\pi)^{2}}\int^{2\pi}_{\phi=0}\int^{b}_{r=a}\frac{rdrd\phi}{r^{2}}=\frac{\mu}{2\pi}\ln(b/a)\ \ \ \ \text{H/m}$$
$$ C = \frac{\epsilon'}{(\ln b/a)^{2}}\int^{2\pi}_{\phi=0}\int^{b}_{r=a}\frac{rdrd\phi}{r^{2}}=\frac{2\pi\epsilon'}{\ln(b/a)}\ \ \ \ \text{F/m}$$
$$ G = \frac{\omega\epsilon''}{(\ln b/a)^{2}}\int^{2\pi}_{\phi=0}\int^{b}_{r=a}\frac{rdrd\phi}{r^{2}}=\frac{2\pi\omega\epsilon''}{\ln(b/a)}\ \ \ \ \text{S/m}$$
$$ R = \frac{R_{s}}{(2\pi)^{2}}\left[\int^{2\pi}_{\phi=0}\frac{ad\phi}{a^{2}}+\int^{2\pi}_{\phi=0}\frac{bd\phi}{b^{2}}\right]=\frac{R_{s}}{2\pi}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\ \ \ \ \Omega\text{/m}$$
Como puede ver, el resultado depende claramente de la geomería.
