No puedo encontrar la relación entre $(I-A)x=v$ y $((I-A)^2)x=0$ .

Question

Esta pregunta de mi libro de texto:

Resolver $(I-A)x=v$ donde $v$ es algo $4\times 1$ matriz, $I$ es la matriz de identidad, y $A$ es algo $4\times 4$ y, por lo tanto, resolver $((I-A)^2)x=0$ .

No puedo encontrar la relación entre estos dos. Cómo voy a utilizar el resultado anterior cuando puedo hacerlo directamente?

Answer 1

Veamos un ejemplo: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ para que $$ Q = I - A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$ Ahora resuelve $Qx = v$ :

Cuando $v = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ por ejemplo, encontramos que $x = \begin{bmatrix} p \\ 1 \end{bmatrix}$ para cualquier valor de $p$ y cuando $v = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ encontramos que no hay solución. Cuando $v = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ , lo consigues $x = \begin{bmatrix} p \\ 0 \end{bmatrix}$ para cualquier $p$ .

Puedes, con algo de esfuerzo, dejar que $v = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ y escribir una solución general en términos de $a$ y $b$ .

Ahora vamos a tratar de resolver $$ Q (Qx) = 0 $$ Si escribimos $v$ para $Qx$ por un momento, luego tenemos que encontrar los valores de $v$ que $Q$ envía a cero... y descubrimos por nuestro trabajo anterior que estos son exactamente de la forma $$ v = \begin{bmatrix} p \\ 0 \end{bmatrix}. $$ Ahora, para encontrar una solución real, necesitamos un $x$ con $v = Qx$ . Así que volvemos a mirar nuestras soluciones anteriores, y decimos "qué vectores $x$ se envían a vectores de la forma $\begin{bmatrix} p \\ 0 \end{bmatrix}$ ?", y la respuesta resulta ser "¡todos!". Así que la solución al problema, en este caso, es "el conjunto de soluciones es todo $\mathbb R^2$ .