¿Qué hace $O\left(\frac{1}{\log\log T}\right)$ ¿quieres decir?

Question

He empezado a trabajar a través de este documento de Levinson (1975). El resumen dice

"Dejemos $s = \sigma + it$ . Para cualquier complejo a, todos menos $O\left(\frac{1}{\log \log T}\right)$ de las raíces de $\zeta(s) = a$ en $T < t < 2T$ mienten en $\left|\frac{1}{2}-\sigma\right| < \frac{(\log \log T)^2}{\log T}$ . ..."

Creo que entiendo lo que dice la mayoría. Aquí hay un diagrama que he esbozado que expresa mi comprensión actual:

Básicamente, si elegimos un valor real de $T$ entonces para $s=\sigma+it$ , donde $T<t<2T$ Casi todos" (véase el título del artículo) los ceros de $\zeta(s)=a$ estará dentro de $\frac{(\log\log T)^2}{\log T}$ de $\sigma=1/2$ es decir, casi todos los ceros, $s_i=\sigma_i+t_i$ será tal que $\left|\frac{1}{2}-\sigma_i\right|<\frac{(\log\log T)^2}{\log T}$ .

La parte que me confunde es "...todo menos $O\left(\frac{1}{\log\log T}\right)$ de las raíces...". ¿Qué significa esto exactamente? Supongamos por un momento que hay 100 raíces de este tipo y que elegimos $T=10$ entonces el pasaje diría "...todos menos $O(\approx 1.19899)$ de las raíces..." No sé qué significa esto. ¿Significa que $1.19899\times 100=119.899>100$ las raíces no se encuentran dentro de dicha región. Creo que no. Y si el número de raíces es realmente infinito (que sospecho que lo es).

Estoy acostumbrado a utilizar la notación Big-O como $$O(x^2)=c_1x^2+c_2x^3+\cdots,$$ pero no la descrita en el resumen claramente.

Answer 1

La notación Big-O describe la rapidez con la que crece una función; normalmente sólo incluye la parte de la función que más crece (pero puede incluir más si se considera significativa): $O(n^2)$ puede ser cualquier cosa donde $n^2$ es el componente de mayor crecimiento de la función La función puede incluir cualquier otro componente como $1$ , $log(n)$ ou $n$ ou $\sqrt{n}$ o cualquier combinación que no crezca más rápido que $n^2$ multiplicado por cualquier factor constante. Cosas como $n^3$ y $n^2\log(n)$ no están permitidos.

Los factores constantes se omiten, excepto cuando se comparan con otras funciones en las que las constantes son las partes interesantes, pero eso es muy inusual.