¿Por qué ¿las personas pueden simular con movimiento browniano en lugar de "movimiento browniano intuitivo"?

Question

Recién he comenzado a estudiar el movimiento Browniano y el estocástico cálculo en el nivel de pregrado o de postgrado a partir de estudiante de matemáticas aplicadas. (Libros de texto que yo he mirado por Mikosch, Gardiner, Kloeden y el Rodillo.)

De nuevo, cuando empecé a pensar acerca de la dinámica estocástica, yo era una ciencia cognitiva estudiante que fue la simulación de neurales de la toma de decisiones de los circuitos. Tuvimos una ecuación diferencial para el modelo de nuestro sistema, y mi asesor me sugirió que tratar ", agregó en un poco de ruido."

Intuitivamente, yo habría escrito una discretizado ecuación para modelar la evolución de alguna variable de estado $X$ como este: $$\Delta X = [ a(t,X)+ R ] \Delta t $$ donde a es un coeficiente que depende de la variable de estado $x$ y el tiempo de $t$, y donde $R$ denota una variable aleatoria (probablemente llevado a ser normal y centrada en el cero de la varianza $\sigma^2$)

En otras palabras, en algún nivel, yo habría esperado una "intuitiva ecuación diferencial estocástica" que se expresa en la forma general $$ \Delta X = [a(t,X,R)] \Delta t $$ donde a es cualquier función de una variable aleatoria.

Sin embargo, lo que es fundamental para la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas y de los modelos que veo (al menos los que vienen en modelado neuronal de las decisiones-por ejemplo, de Ornstein-Uhlenbeck), la ecuación discretizada tiene el estocástico parte escalar con $\sqrt{\Delta t}$, en lugar de $\Delta t$. Por ejemplo, el movimiento Browniano es discretizado como $$\Delta X = R \sqrt{ \Delta t}$$ donde R denota una normal estándar.

Finalmente, mi pregunta: ¿por Qué es tan deseable, para el modelado de la dinámica estocástica en general, para tener el estocástico parte de un estocástico diferencia de la ecuación de la escala con la raíz cuadrada del cambio en el tiempo , en lugar de simplemente linealmente con el cambio en el tiempo?

Answer 1

La razón fundamental es que las varianzas son aditivos, mientras que las desviaciones estándar no son. Si no lo hacen la varianza proporcional al tiempo de paso, su discretizations no comportan de la misma forma cuando cambia el paso de tiempo.

Para ser explícitos, echemos $X_{i+1}=X_i+R_{i+1}\sqrt{\Delta t}$, donde el $R_i$ son independientes y normal estándar. Después de dos pasos, hemos $$X_2=X_0+(R_1+R_2)\sqrt{\Delta t}.$$ But $R_1+R_2$ is normal with variance $2$, so we can write it as $\sqrt2 R_{12}$, where $R_{12}$ is again standard normal. Then we get $$X_2=X_0+\sqrt2 R_{12}\sqrt{\Delta t}=X_0+R_{12}\sqrt{2\Delta t},$$ so it's exactly the same as if we took a single time step of twice the length. This doesn't happen if you take the stochastic component to be $R_i\Delta t$ en lugar de (intentar).

Lo que realmente está pasando es que estás agregando una varianza constante, decir $\sigma^2$, para que el estocástico parte en cada paso de tiempo. Así que después de $n$ pasos de tiempo se le han acumulado una variación de $n\sigma^2$. Si usted fuera a tomar un solo paso de tiempo de longitud $n\Delta t$ en lugar, usted quiere que su estocástico parte de tener la misma varianza $n\sigma^2$, y que corresponde a la escala por $\sqrt n$, no por $n$.

En otras palabras: $\text{variance}\propto\text{time step}$; $\text{scale}\propto\sqrt{\text{variance}}$; por lo $\text{scale}\propto\sqrt{\text{time step}}$.