Construir una función de protuberancia polinómica

Question

Propuesta: Supongamos que $f$ es continua y $\int_a^bf(x)x^ndx = 0$ para todos $n$ . Entonces $f$ es cero en $[a,b]$ .

Esto se puede demostrar aproximando uniformemente $f$ con polinomios a través del teorema de Weierstrass. Antes de escuchar esta respuesta, estaba tratando de demostrarlo construyendo una especie de función de protuberancia polinómica que hiciera pico donde $f(x)$ era distinto de cero, y ser pequeño fuera de esa región.

Supongamos que $f \neq 0$ en $[a,b]$ y suponer WLOG que $f(y)>0$ . Elija $(c,d)$ tal que $|f(x)|>|f(y)|/2$ en $(c,d)$ y elija $(\gamma,\delta)\supseteq (c,d)$ tal que $f(x)>0$ en $(\gamma, \delta)$ .

Quiero un polinomio que sea $\geq 1$ en $(c,d)$ y uniformemente pequeño en $[a,b]\setminus (\gamma, \delta)$ . ¿Es posible? ¿Cómo podría construirlo?

Answer 1

Otra posibilidad, no original por mi parte, es $f_n(x) =x^n(1-x)^n $ para que sea lo suficientemente grande $n$ , escalado y desplazado para que su pico esté donde tú quieras.

$f'(x) = -nx^n(1-x)^{n-1} + nx^{n-1}(1-x)^{n} = nx^{n-1}(1-x)^{n-1} ((1-x)-x) = nx^{n-1}(1-x)^{n-1} (1-2x) $

para que $f$ es el máximo en $x = \frac12$ y $f(\frac12) =(\frac12)^{2n} $ .

Mirando $f(\frac12 \pm c)$ , se puede demostrar que la protuberancia en $\frac12$ es mucho mayor que los valores de $f$ lejos de $\frac12$ como $n$ se hace grande.

Eso es todo para mí ahora.

Answer 2

Para simplificar, mueve y escala el intervalo de manera que $(c,d)=(-1,1)$ . Considere $f_k(x)=\exp(-x^{2k})$ donde $k$ es grande. Como $k\to\infty$ estas funciones convergen a $1$ uniformemente en $(-1+\epsilon,1-\epsilon)$ y a $0$ uniformemente en $\mathbb R\setminus (-1-\epsilon,1+\epsilon)$ para cada $\epsilon>0$ . En el medio hacen la transición de $1$ à $0$ sin hacer nada raro.

Para cada fijo $k$ la función $f_k$ al estar representado por su serie de Taylor en toda la línea, es un límite uniforme de sus polinomios de Taylor $T_{k,n}$ en cada intervalo acotado.

Por lo tanto, la elección de grandes $k$ y luego grandes $n$ hace lo que tú quieres.

Answer 3

Esto es más una nota que una respuesta, pero tampoco es exactamente un comentario. Si ampliamos el post de @marty cohen. Dejemos que $X$ sea un espacio conveniente y defina el $C^1(X,\mathbb{R})$ función de bache como: $$ f_c(x)\triangleq (\|x\|^2-c)^2(\|x\|^2+c)^2 I_{\|x\|^2<c}; $$ para algunos $0<c<\infty$ . Entonces $f_c$ tiene la ventaja añadida de tomar valores en $(0,1]$ y ser apoyado en $Ball(x,c)$ . En particular, cuando $X=\mathbb{R}^d$ entonces $f_c$ es de soporte compacto.