Límite de $L^p$ norma es $L^\infty$ variación de normas

Question

Estoy familiarizado con el resultado que $$\lim_{p \to \infty} ||f||_p=||f||_\infty$$ cuando $f \in L^p([0,1])$ pero me he encontrado con una variación de este hecho que me cuesta mostrar.

La afirmación es que dado $f \in L^\infty(\mathbb{R})$ $$\lim_{n \to \infty}\left(\int \frac{|f(x)|^n}{1+x^2} \, dx\right)^\frac{1}{n}=||f||_\infty$$

La función $\frac{1}{1+x^2}$ dentro del integrando es lo que me está haciendo tropezar. No estoy seguro de cómo tratar con él para ejecutar el argumento típico.

Answer 1

Aplique el resultado que conoce a la medida $\mu:=\frac 1{1+x^2}dx$ la cantidad $\left(\int \frac{|f(x)|^n}{1+x^2} \, dx\right)^\frac{1}{n}$ es el $L^n$ norma con respecto a esta medida. Además, $\mu(A)=0$ si y sólo si la medida de Lebesgue de $A$ es cero, por lo que el $L^\infty$ -norma con respecto a $\mu$ es el mismo que el $L^\infty$ -con respecto a la medida de Lebesgue.

Answer 2

Dejemos que $\mu(dx)=\frac{1}{1+x^2}\,dx$ . Esta medida es equivalente a la medida de Lebesgue $\lambda(dx)=dx$ en el sentido de que $\mu\ll \lambda$ y $\lambda\ll \mu$ .

Se trata de un resultado que $\|f\|_{L_n(\mu)}\xrightarrow{n\rightarrow\infty}\|f\|_{L_\infty(\mu)}$ .

Desde $\mu$ y $\lambda$ son equivalentes, $\|f\|_{L_\infty(\mu)}=\|f\|_{L_\infty(\lambda)}$ .