Confusión de probabilidad condicional e igualdad casi segura

Question

Inicialmente empecé a escribir un extenso post pidiendo aclaraciones sobre mis ideas, pero decidí borrarlo y ceñirme a una pregunta que espero pueda ayudar a mi confusión:

Estamos en $(\Omega, \mathcal F, P)$ . La definición de $E^{\mathcal G} X$ es una variable en $L_1(\Omega, \mathcal G, P|_{\mathcal G})$ que cumple con $$\forall G \in \mathcal G:\;\; \int_G E^{\mathcal G} X \;dP = \int_G X \;dP$$ Ahora, si introdujera una segunda variable $Y$ con la propiedad de que $$\forall G \in \mathcal G:\;\; \int_G X\; dP = \int_G Y \;dP$$ ¿Significa esto que $Y\stackrel{a.s.}=E^{\mathcal G}X$ ?

El problema que tengo con esto es que mientras $Y$ se ajusta a la definición de la expectativa condicional. La definición sólo contempla el comportamiento de las integrales sobre conjuntos en $\mathcal G$ mientras que al declarar su igualdad casi segura estoy declarando su igualdad en la mayor $\sigma$ -Álgebra $\mathcal F$ (ambos ignorando los conjuntos nulos).

Muchas gracias. Esta es una de las veces que me doy cuenta de que he estado malinterpretando los conceptos que he estado utilizando durante meses y mi convicción de que entiendo las matemáticas en algún nivel se rompe. ¡Espero sentirme mejor después de hoy!

Answer 1

Es falso. Por ejemplo, si $Y=X$ y $X$ no es $\mathcal{G}$ medible.

Pero, si $Y$ es $\mathcal{G}$ -medible y $\int_GXdP=\int_GYdP$ para todos $G\in\mathcal{G}$ Por lo tanto, es cierto que $Y=E[X|\mathcal{G}]$ a.e.

Answer 2

Estoy bastante seguro de que cuando hablamos de la variable aleatoria $E[X|\mathcal{G}]$ lo consideramos como un elemento de $L^1(\Omega,\mathcal{G},P)$ . Como señala sinbadh la afirmación de que las integrales de $Y$ y $E[X|\mathcal{G}]$ están de acuerdo en los subconjuntos de $\mathcal{G}$ no nos dice necesariamente que $Y = E[X|\mathcal{G}]$ en el $P$ -a.s. sense.

Por ejemplo, si consideramos $X,Y,Z \in L^1(\Omega,\mathcal{F},P)$ y el sub- $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{G} = \{\emptyset,\Omega\}$ entonces la concordancia de las integrales de las tres funciones en subconjuntos de $\mathcal{G}$ nos dice que $$\displaystyle\int_{\Omega} XdP = \displaystyle\int_{\Omega} YdP =\displaystyle\int_{\Omega} ZdP \Longrightarrow E[X] = E[Y] = E[Z]$$ Sin embargo, esto no nos dice necesariamente que $Y = Z$ en el $P$ -a.s. sentido (relativo a cualquiera de los dos $\mathcal{F}$ o $\mathcal{G}$ ), como $Y$ y $Z$ podrían ser funciones que discrepan mucho en $\Omega$ (y en consecuencia difieren en ambos subconjuntos en $\mathcal{F}$ y subconjuntos en $\mathcal{G}$ ) y, sin embargo, tienen el mismo valor esperado. Sin embargo, si exigimos que $Y$ y $Z$ son $\mathcal{G}$ -medible, entonces encontraríamos que $E[X|\mathcal{G}]$ , $Y$ y $Z$ son todos $P$ -a.s. igual a la función constante $E[X]$ (en relación con ambos $\mathcal{F}$ y $\mathcal{G}$ ).

Podemos ilustrar aún más el requisito de $Y$ y $Z$ para ser $\mathcal{G}$ -medible a través de la prueba estándar de la $P$ -a.s. unicidad de la expectativa condicional. Supongamos que tenemos $X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},P)$ , $G \subset \mathcal{F}$ a sub- $\sigma$ -y el álgebra, y $Y,Z \in L^1(\Omega, \mathcal{G},P)$ tal que $$\forall G \in \mathcal{G}, \: \: \displaystyle\int_{G} X dP = \displaystyle\int_{G} Y dP = \displaystyle\int_{G} Z dP $$ Entonces, observando que $\{Z>Y\},\{Y>Z\} \in \mathcal{G}$ porque $Y,Z$ son $\mathcal{G}$ -medible, tenemos que $$\displaystyle\int_{\{Z > Y\}} ZdP = \displaystyle\int_{\{Z > Y\}} YdP \Longrightarrow \displaystyle\int_{\{Z > Y\}} (Z-Y)dP = 0 \Longrightarrow Z \leq Y \: \: P\mathrm{-a.s.}$$ $$\displaystyle\int_{\{Y > Z\}} ZdP = \displaystyle\int_{\{Y > Z\}} YdP \Longrightarrow \displaystyle\int_{\{Y > Z\}} (Y-Z)dP = 0 \Longrightarrow Z \geq Y \: \: P\mathrm{-a.s.} $$ Por lo tanto, podemos concluir que $Y = Z$ en el $P$ -a.s. sentido (una vez más, relativo a cualquiera $\sigma$ -álgebra).