Probabilidad de tener exactamente un contenedor vacío

Question

¿Cuál es la probabilidad de que si distribuimos N letras

entre N cajones y suponer que cada

configuración es igualmente probable (la saturación está en

menos 0 y como máximo N) entonces un solo cajón

¿se encontrarán vacíos?

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Mi progreso hasta ahora:

Número total de casos: $N^{N}$

Razonamiento: Es la implicación de la condición de saturación.

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El número de configuraciones favorables:

$2 \cdot \binom{N}{2}\cdot (N - 2)!$

Razonamiento:

Puedo elegir $2$ cajones fuera de $N$ cajones en $\binom{N}{2}$ formas.

Estos dos cajones sirven para el vacío y el que contiene dos cartas.

El factor $2$ es considerar la ubicación relativa de los dos cajones.

$(N - 2)!$ es tener en cuenta la permutación de los cajones restantes.

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Siento que algo está equivocado.

Pregunta: ¿Cuál es la ruta de la corrección?

Answer 1

Configuraciones favorables:

$ \displaystyle 2 \cdot \binom{N}{2}\cdot \binom{N}{2} \cdot(N - 2)!$

Elegimos dos cajones, uno de ellos albergará dos cartas y otro estará vacío. Lo que queda es $(N-2)$ Los cajones contendrán una letra cada uno. Ahora elegimos dos letras que irán en el cajón seleccionado para guardar dos letras. Las letras de los cajones restantes se pueden organizar en $(N-2)!$ formas.

Answer 2

Su $N^N$ parece razonable para el número total de arreglos igualmente probables.

Un enfoque de la segunda parte es decir que elegimos $2$ de la $N$ artículos ${N\choose 2}$ formas y un cajón para ponerlas $N$ formas y otro cajón para que esté vacío $N-1$ formas y luego organizar el resto $N-2$ cajones y $N-2$ artículos $(N-2)!$ maneras, dando $${N\choose 2}N(N-1)\,(N-2)! = \frac{N(N-1)}2N!$$ posibilidades, que luego dividimos por $N^N$ para obtener una probabilidad.

• Para $N=2$ esto da $\frac12$
• Para $N=3$ esto da $\frac23$
• Para $N=4$ esto da $\frac9{16}$
• Para $N=5$ esto da $\frac{48}{125}$

lo que parece plausible