Las estadísticas suficientes tienen las mismas distribuciones conjuntas

Question

Este es un ejemplo tomado de la Estadística Teórica de Keener:

Supongamos que $X$ y $Y$ son independientes con densidad común: $f_{\theta}(x) = \theta e^{-\theta x} 1_{\{x \geq 0\}}$ , $U$ se distribuye uniformemente en $(0,1)$ independiente de $X$ y $Y$ . Entonces se puede considerar $T = X + Y, \tilde X = UT, \tilde Y = (1-U)T$ y calcular $\frac{p(x+y, \frac{x}{x+y})}{x+y} = \theta^2e^{-\theta(x+y)}1_{\{x \geq 0, y\geq 0\}}$ . Luego afirma que $\tilde X$ , $\tilde Y$ y $X$ , $Y$ tienen la misma densidad conjunta. No estoy seguro de por qué. ¿No deberíamos calcular $p(x, y)$ ¿en su lugar?

Permítanme cambiar la variable aquí: que $u = x + y, v = \frac{x}{x+y}$ entonces $x = uv$ , $y = u - uv$ entonces $p(u, v) = u \theta^2 e^{-\theta u}1_{\{u \geq 0, 1 \geq v \geq 0\}}$ que no es del todo $f_{\theta}(x, y) = \theta e^{-\theta (x + y)}1_{\{x \geq 0, y \geq 0\}}$

Answer 1

A continuación, afirma que $\tilde{X},\tilde{Y} $ y $X,Y$ tienen la misma densidad de unión. No estoy seguro de por qué

Lo que su libro de texto afirma es que el vector $(X,Y)$ tiene la misma densidad conjunta que el vector $[UT;(1-U)T]$ donde $T=X+Y$

Veamos por qué:

Según la propiedad de la distribución exponencial $T=X+Y\sim Gamma(2;\theta)$ así que

$$f_T(t)=\theta^2 t e^{-\theta t}\mathbb{1}_{t \geq0}$$

Así,

$$f_{UT}(u,t)=\theta^2 t e^{-\theta t}\mathbb{1}_{(0;1)}(u)\mathbb{1}_{[0;\infty)}(t)$$

1. Derivemos la densidad conjunta de $[UT;(1-U)T]$

$$\begin{cases} ut=z \\ (1-u)t=v \end{cases} $$

$$\begin{cases} u=\frac{z}{v+z} \\ t=v+z \end{cases} $$

Calcular el jaocobio que es

$$|J|= |det\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial v} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial t}{\partial v} & \frac{\partial t}{\partial z} \\ \end{bmatrix}|=|det \begin{bmatrix} \frac{-z}{(v+z)^2} & \frac{v}{(v+z)^2} \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}|=\frac{1}{v+z}$$

y con el teorema de la transformación fundamental se obtiene inmediatamente

$$f_{ZV}(z,v)=\theta^2(v+z)e^{-\theta(v+z)}\frac{1}{v+z}=\theta^2e^{-\theta(v+z)}\mathbb{1}_{z,v \geq 0}$$

2. Es evidente que el vector $(X,Y)$ con $X,Y$ iid $exp(\theta)$ tiene la siguiente densidad conjunta

$$f_{XY}(x,y)=\theta^2e^{-\theta(x+y)}\mathbb{1}_{x,y \geq 0}$$

...ahora el reclamo está probado.