En la página 101, corolario 4.3.3., de El libro de Armitage y Gardiner en la teoría del potencial, los autores demuestran que cualquier función subarmónica, puede identificarse con una medida positiva (medida de Riesz).
Para ello, tienen en cuenta el funcionamiento $L_s(\phi)=\int_\Omega s(x)\Delta \phi(x)$ , $\Omega$ un conjunto abierto, $\phi\in C_0^\infty(\Omega)$ y $s$ la función subarmónica.
Para cualquier $\phi\in C_0(\Omega)$ , considera la secuencia mollar $\phi_n$ que converge a $\phi$ uniformemente y afirman que $L_s(\phi_n)$ es Cauchy. Tal vez, como él dice, esto es evidente, sin embargo no lo veo.
Si, por ejemplo, la secuencia regularizada $s_n$ es tal que, $\Delta s_n$ está acotado uniformemente en $L^1_{loc}(\Omega)$ entonces, lo anterior es cierto, sin embargo, tampoco lo veo. Se agradece cualquier ayuda.
Observación: Sé cómo ampliar $L_s$ a $C_0(\Omega)$ pero con otro enfoque, aunque la extensión es la misma, por la unicidad.
Actualización: Para $x\in \Omega$ , arreglar algunos $r>0$ tal que $\overline{B(x,r)}\subset \Omega$ La regularización $s_n$ de $s$ es una secuencia de funciones subarmónicas en $B(x,r)$ que converge de forma decreciente a $u$ en $B(x,r)$ . Obsérvese que (teorema de Green)
\begin{eqnarray} \int_{B(x,r)}|\Delta s_n| &=& \int_{B(x,r)} \Delta s_n \nonumber \\ &=& \int_{\partial B(x,r)} \frac{\partial s_n}{\partial\eta} \nonumber \\ &=& r^{N-1}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r^{N-1}}\int_{\partial B(x,r)}s_n\right) \end{eqnarray}
¿Alguien sabe como ligar el lado derecho uniformemente en $n$ ? Además, hay que tener en cuenta que el lado derecho, se puede escribir en términos de la integral media de $s_n$ .
