¿Es Hilbert ' segundo problema s sobre los números verdaderos o los números naturales?

Question

En su famoso "23 problemas de" discurso, Hilbert dio su segundo problema de la siguiente manera:

Los axiomas de la aritmética son esencialmente nada más que las conocidas reglas de cálculo, con la adición de el axioma de continuidad. Recientemente he recogido y al hacerlo reemplazado el axioma de continuidad por dos simples axiomas, es decir, el conocido axioma de Arquímedes, y un nuevo axioma, esencialmente, lo siguiente: que los números forman un sistema de cosas que es capaz de no más de extensión, mientras todos los otros axiomas mantenga pulsado el botón (axioma de completitud). Estoy convencido de que debe ser posible encontrar una prueba directa para la compatibilidad de los axiomas aritméticos, por medio de un cuidadoso estudio y modificación de los métodos conocidos de razonamiento en la teoría de los números irracionales.

Ahora, no estoy seguro de lo que se está refiriendo a la "recientemente" pero podría ser su papel "En el concepto de número", publicado también en 1900. En este trabajo de Hilbert da una axiomática del sistema de los números reales (con orden).

Ahora, yo vagamente (muy vagamente...) sabemos que la teoría real de campos cerrados se comporta de manera muy diferente de la teoría de la aritmética de los números naturales - el ex no está sujeto a Gödel del teorema de la incompletitud, mientras que el último, por supuesto, es. Así que parece ser (y puedo estar equivocado) que si Hilbert significaba algo en el espíritu de la antigua, de Gödel no ha respondido de Hilbert del segundo problema (por supuesto, hay no es negar la importancia de Gödel resultados del programa de Hilbert; estoy interesado en Hilbert 2 del problema).

Ahora, mire por donde se mire parece que Hilbert 2º problema es interpretado como un signo de los axiomas de la aritmética de los números naturales, por ejemplo, la aritmética de Peano. Por ejemplo, Wikipedia estados que

Ahora es común interpretar Hilbert la segunda pregunta de como pedir una prueba de que la aritmética de Peano es consistente (Franzen 2005:p. 39).

(Me miró Frenzen libro; tengo que admitir que yo no vea nada de lo que sonaba como la anterior cita allí, pero yo podría simplemente se han perdido).

Así que, ¿qué fue de Hilbert 2º problema? Es correcto interpretar como una pregunta acerca de la aritmética de Peano? Es correcto afirmar que el teorema de Gödel tenido un gran impacto en la pregunta? O es una confusión entre el programa de Hilbert y la 2da pregunta?

Answer 1

La comprensión universal es que una solución positiva a las Hilbert segundo problema requiere una prueba convincente de la consistencia de algunos adecuado conjunto de axiomas de los números naturales. La historia del problema se presenta en la universidad de Stanford Encyclopedia entrada en el programa de Hilbert, la sección 1.1. Esta explicación no parece resolver el problema de lo que Hilbert se refiere en la cita en la pregunta anterior:

Hilbert, impartió una axiomatization en (1900b), pero quedó claro muy pronto que la coherencia de los análisis se han enfrentado a importantes dificultades, ... . Hilbert así se dio cuenta de que un efecto directo de la consistencia de la prueba de análisis, es decir, uno no se basa en la reducción de la otra teoría, era necesario. Propuso el problema de encontrar una prueba como el segundo de su 23 problemas matemáticos en su discurso al Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 (1900a), y presentó un boceto de una prueba en su Heidelberg hablar (1905).

Tenga en cuenta que el término "análisis" en el artículo es el término tradicional de la teoría de los números naturales y los conjuntos de números naturales, que ahora se llama de segundo orden de la aritmética. En las primeras décadas del siglo 20, el estudio de la lógica formal y el modelo de la teoría todavía estaba en su infancia, y muchos de los hechos que ahora damos por sentado, no eran conocidos por los investigadores de la época. En particular, Hilbert habría tenido ninguna razón para esperar que la teoría de los números reales como un campo que se comporten de manera diferente a partir de la teoría de segundo orden de la aritmética. Tarski del trabajo en el procedimiento de la decisión real de campos cerrados llegó mucho más tarde, en 1951.

El trabajo de Hilbert en su segundo problema condujo al desarrollo de un programa de Hilbert, que trató de dar un "finitistic" prueba de consistencia de la aritmética. Esta tarde fue demostrado ser imposible por los teoremas de incompletitud.