Sabemos que para las álgebras C*, $$ K_0(A\oplus B) \stackrel{(*)}{=} K_0(A)\times K_0(B)$$ donde el $\oplus$ en el L.H.S. es una suma directa de álgebras C* (derivada de la noción de suma directa de álgebras), y la $\times$ en el R.H.S. es un producto directo de los grupos.
También sabemos que $K_0$ es un functor exacto dividido, en el sentido de que si tenemos una secuencia exacta corta dividida de C*-álgebras: $$ 0\longrightarrow I\longrightarrow A\longrightarrow B \longrightarrow 0$$ entonces obtenemos una secuencia exacta corta dividida de grupos abelianos: $$ 0\longrightarrow K_0\left(I\right)\longrightarrow K_0\left(A\right)\longrightarrow K_0\left(B\right) \longrightarrow 0$$
Tomemos por ejemplo la unitzación $\tilde{A}$ de cualquier álgebra C* $A$ (unital o no). Sabemos que $$\tilde{A} \neq A\oplus \mathbb{C}$$ como álgebras (a menos que $A$ es unital) (por lo que no podemos utilizar la ecuación $(\ast)$ ), sino que a nivel de espacios vectoriales esto es cierto. También sabemos, utilizando el hecho anterior, que $K_0$ está dividido-exacto que $$K_0(\tilde{A}) = K_0(A)\times \mathbb{Z}$$ que habría sido el resultado si hubiéramos podido aplicar la ecuación $(\ast)$ .
De ahí que surja la siguiente pregunta: Si tenemos un álgebra estelar C* $C$ tal que a nivel de espacios vectoriales tenemos $$ C = A\oplus B$$ para otras dos álgebras C* $A$ y $B$ pero tal que a nivel de álgebras $$C \neq A \oplus B$$ entonces podríamos seguir aplicando la ecuación $(\ast)$ para concluir $$ K_0(C) = K_0(A) \times K_0(B)$$ ?
En caso afirmativo, ¿la prueba sería la misma que la que demuestra $(\ast)$ ? si no es así, ¿podría alguien aportar un contraejemplo?
