El lema de la regla de los signos de Descartes

Question

¿Cómo se demuestra este lema? si $p(x)$ tiene un coeficiente real , y si $p(a)=0$ donde $a>0$ entonces $p(x)$ tiene al menos una variación de signo más que el cociente $q(x)$ Además, cuando la diferencia en el número de variación del signo es mayor que $1$ la diferencia es siempre un número impar

Answer 1

Basta con considerar el caso $p(1)=0,$ aplicando la sustitución $q(x)=p(ax).$ Entonces $q(x)$ y $q(x)/(x-1)$ tienen el mismo número de cambios de signo que $p(x)$ y $p(x)/(x-a)$ respectivamente. Sea $${p(x)\over x-1}=a_{n}x^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\ldots +a_2x+a_1.$$ Set $a_{n+1}=a_{0}=0.$ Entonces $$p(x)=(a_{n}-a_{n+1})x^{n}+(a_{n-1}-a_{n})x^{n-1}+\ldots + (a_0-a_1)x +(a_{-1}-a_0).$$ Consideremos la función lineal a trozos $f(x)$ definido en el intervalo $[-1,n+1]$ tal que $f(j)=a_j$ y $f(x)$ es lineal en cada intervalo $(j-1,j),$ para $j=1,2,\ldots,n+1.$ Esta función desaparece en los puntos finales. El número de cambios de signo de $p(x)$ es igual al número de extremos locales de $f(x)$ en el intervalo $(-1,n+1).$ Por otro lado, el número de cambios de signo de $p(x)/(x-1)$ es igual al número de cambios de signo de la función $f(x)$ en $(-1,n+1).$

Cada vez que la función $f(x)$ cruza el valor $0,$ el punto correspondiente se encuentra entre dos extremos locales. Por lo tanto, el número de cambios de signo de $p(x)$ es mayor que la de $p(x)/(x-1)$ por lo menos $1.$

Dejemos que $x_1<x_2<\ldots <x_k$ sean todos los puntos, donde $f(x)$ cambia de signo. Poner $x_0=-1$ y $x_{k+1}=n+1.$ Obsérvese que entre dos puntos consecutivos cualesquiera $x_i$ y $x_{i+1}$ la función $f(x)$ tiene un número impar $n_i$ de extremos. Por lo tanto, el número total de extremos es igual $$n_0+n_1+\ldots +n_k.$$ La diferencia $$(n_0+n_1+\ldots +n_k)-k=n_0+(n_1-1)+(n_2-1)+\ldots +(n_k-1)$$ es por tanto un número impar.