La construcción geométrica del $90^\circ, 87^\circ, 3^\circ$ triángulo

Question

La construcción del $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$ y el $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$ triángulos es bien conocida.

¿Cómo se puede construir un triángulo con ángulos $90^\circ, 87^\circ, 3^\circ$ sin utilizar polígonos regulares? Por "construcción" me refiero a la determinación de la proporción de sus lados y de los ángulos internos necesarios mediante las operaciones comunes de la geometría plana, como en los demás triángulos.

¿Es posible utilizar el teorema del ángulo exterior y los triángulos $90^\circ, 72^\circ, 18^\circ$ y $90^\circ, 75^\circ, 15^\circ$ para construir geométricamente el ángulo $18^\circ - 15^\circ= 3^\circ$ ? ¿Cómo se puede hacer esta construcción?

Answer 1

Una pista: $3^\circ=45^\circ+30^\circ-72^\circ$ . Para $72^\circ$ sin embargo hay que saber construir un pentágono regular o algún triángulo de proporción áurea.

Answer 2

Siguiendo la sugerencia de E.Girgin más El método de Richmond :

Pasos:

1. Construir un hexágono regular $ABCDEF$ con centro $O$ ;
2. Construye un cuadrado de tal manera que $\widehat{AOG}=75^\circ$ ;
   dejar $B'=BC\cap OG$ y tomar $A'\in FA$ tal que $OA'\perp OB'$ ;
3. Dejemos que $\Gamma$ sea la circunferencia con centro $O$ a través de $A'$ y $M$ sea el punto medio de $OA'$ ;
   dejar $N$ sea la intersección entre $OB'$ y la bisectriz del ángulo de $\widehat{OMB'}$ ;
4. Dejemos que $A''$ sea el punto de intersección entre $\Gamma$ y el paralelo a $OA'$ a través de $N$ ;
5. $\color{red}{\widehat{AOA''}=3^\circ}$ .

Una construcción equivalente a través de $3=\frac{72-60}{2\cdot 2}$ :

Pasos:

1. Dejemos que $AO=OB$ y $OA\perp OB$ ; dejar que $\Gamma$ sea el círculo centrado en $O$ a través de $A$ ;
2. Dejemos que $U,V,M$ sean los puntos medios de $BM,BO,OA$ ; deja que $W$ sea la intersección entre $UV$
   y la circunferencia de $BOM$ cuyo centro es claramente $U$ ;
3. Dejemos que $N=WM\cap OB$ y tomar $P\in\Gamma$ tal que $NP\parallel OA$ ;
4. Tome $Q\in\Gamma$ tal que $QP=PO$ ;
5. Al bisecar dos veces $\widehat{QOB}$ obtenemos un ángulo con amplitud $\color{red}{3^\circ}.$

Answer 3

¿Es posible utilizar el teorema del ángulo exterior y los triángulos $90^\circ, 72^\circ, 18^\circ$ y $90^\circ, 75^\circ, 15^\circ$ para construir geométricamente el ángulo $18^\circ - 15^\circ= 3^\circ$ ? ¿Cómo se puede hacer esta construcción?

Ciertamente, si puedes construir $75^\circ$ y $72^\circ$ entonces se puede construir $75^\circ - 72^\circ = 3^\circ$ .