Dejemos que yo sea el centro de ABC. Si I es también el incentro del triángulo medio de ABC, demostrar que ABC debe ser equilátero.
Estoy pensando que un punto de partida sería mostrar que la distancia entre AC y WU es la misma que la distancia entre AB y VU, pero por un lado, no estoy seguro de que esto sea un buen punto de partida, y por otro, no puedo averiguar cómo hacerlo en primer lugar.
Se agradecería cualquier ayuda.
Aquí hay una solución utilizando coordenadas baricéntricas.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que el incentre de $\triangle{DEF}$ es el centro de spieker $S_p$ de $\triangle{ABC}$ . Con $\triangle{ABC}$ es el triángulo de referencia que tenemos,
$$S_p\equiv{}I\implies{}\dfrac{1}{4s}\left(b+c,c+a,a+b\right)\equiv{}\dfrac{1}{2s}\left(a,b,c\right).$$
Por lo tanto, $2a=b+c,2b=c+a$ y $2c=a+b$ . De ahí que el resultado sea el siguiente.
Referencia: Coordenadas baricéntricas
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