¿Explicación de un fenómeno matemático?

Question

Hace poco me encontré con un extraño patrón, y no tengo ni idea de por qué existe. Esperaba una explicación.

Sean tres números enteros: $p$ , $a$ y $n$ ; $p$ es cualquier número primo, mientras que $a$ y $n$ son números tales que $1\leq a < p$ y $1 \leq n < p$

Que el conjunto $S$ sea $\{{an^1\pmod p, an^2\pmod p, \dots, an^{p-1}\pmod p\}}$ . ¿Por qué el número de números distintos en el conjunto $S$ es siempre un divisor de $p-1$ ?

Un ejemplo : Sea $p$ ser 7, $a$ sea $3$ y $n$ sea $2$ .

Por lo tanto, el conjunto S sería : $\{{3 * 2^1\pmod7,\dots,3* 2^6\pmod7\}}$

lo que equivale a: $6\pmod 7$ , $5\pmod7$ , $3\pmod 7$ , $6\pmod7$ , $5\pmod7$ , $3\pmod7$ .

Hay 3 números distintos en este conjunto. $6$ o $p-1$ es divisible por $3$ .

Esto es cierto para cualquier primo $p$ . ¿Por qué el número de números distintos en el conjunto $S$ siempre es un divisor de $p-1$ ?

Me doy cuenta de que es un patrón aparentemente aleatorio, pero necesito entenderlo para completar mi trabajo.

Answer 1

Sugerencia $\ $ Dado que no tienes conocimientos de teoría de grupos, puedes emplear estos dos simples hechos.

$(1)\ \ \ \rm mod\ p\!:\ n^{p-1}\equiv 1\ \Rightarrow\:$ el orden k de n divide $\rm p\!-\!1,\:$ es decir $\:\!$ si $\rm\:k>0\:$ es el menor de los casos en que $\rm n^k\equiv 1\:$ entonces $\rm\:k\ |\ p\!-\!1.\:$ Así, la secuencia de potencias $\rm\:n,n^2,\ldots,n^{p-1}\:\!$ se descompone en la subsecuencia $\rm\:n,n^2,\ldots,n^k\!\equiv\! 1\:$ repetido $\rm\:(p\!-\!1)/k\:$ tiempos.

$(2)\ \ $ El mapa $\rm\:x \to a\:\!x\:$ es $1\!-\!1$ desde $\rm\:a\not\equiv 0\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:a^{-1}\:$ existe mod $\rm p.\:$ Por lo tanto, al escalar todos los elementos de la subsecuencia repetida por $\rm\: a\:$ conserva su longitud, es decir, los elementos siguen siendo distintos. Obsérvese que los elementos de la subsecuencia original son distintos, si no $\rm\:n^i \equiv n^j\:$ para $\rm\:1\le i < j \le k\:$ rinde $\rm\:n^{j-i}\equiv 1\:$ para $\rm\:0 < j\!-\!i < k,\:$ contra la minimidad de $\rm k$ (aquí, de nuevo, hemos utilizado el hecho de que $\rm\: mod\ p\!:\ n\not\equiv 0\:$ implica que $\rm\:n^{-1}$ existe, por lo tanto $\rm\:n\:$ es cancelable desde ambos lados de una congruencia).

Answer 2

Sin teoría de grupos:

Mira tu ejemplo de 7, 3, 2. Observa cómo los números van 6, 5, 3, 6, 5, 3; obtienes los números distintos 6, 5, 3, y luego se repiten. Pues bien, eso es lo que ocurre siempre: obtienes una cadena de números distintos, y luego esa cadena se repite, exactamente, hasta que llegas al final. Como se escribe $p-1$ números en total, y la cadena se repite exactamente hasta que haya escrito el $p-1$ números, el número de números en la cadena debe ser un factor de $p-1$ .

Bueno, hay algunas afirmaciones en ese párrafo que necesitan ser probadas. No necesitas teoría de grupos para demostrarlas, puedes encontrar el tema discutido (aunque no exactamente en los términos que he usado) en cualquier texto de introducción a la Teoría de Números. Lo siento, pero no estoy en condiciones de escribirlo todo aquí.

Answer 3

Este es un ejemplo de Teorema de Lagrange en la teoría de grupos. Los elementos $an^k$ forman un coset en el grupo $U_p$ el grupo multiplicativo del campo de $p$ elementos.