Divergencia en el operador de momento total en QFT

Question

La expresión clásica para el operador de momento total es $$P^{i} = -\int d^3x \, \pi(x) \, \partial_{i} \phi(x),$$

que, tras una segunda cuantificación, utilizando $$\hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3k}{(2 \pi)^3} \, \frac{1}{ \sqrt{2 E_{k}}} \left( \hat{a}_{k} + \hat{a}^{\dagger}_{-k} \right) e^{i k \cdot x}$$ y $$\hat{\pi}(x) = \int \frac{d^3k}{(2 \pi)^3} \, \sqrt{\frac{E_{k}}{2}} \left( \hat{a}_{k} - \hat{a}^{\dagger}_{-k} \right) e^{i k \cdot x},$$

se convierte en: $$\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \, p^i \left( \hat{a}_{p}^{\dagger} \hat{a}_{p} + \frac12 (2\pi)^3 \delta^{(3)}(0) \right).$$

¿Cuál es el significado del segundo término divergente?

Sé que obtenemos una expresión similar para la energía del estado básico, que simplemente ignoramos argumentando que la energía absoluta no es un observable ya que sólo podemos medir las diferencias de energía. Pero el momento es seguramente un observable. Podemos medir el momento absoluto, ¿no?

Answer 1

Bueno, cuantificación de un sistema clásico puede no ser un procedimiento único. Clásicamente, todas las variables conmutan y, por ejemplo, $\pi ~\partial_i \phi = \partial_i\phi~\pi.$

Cuando cuantificamos, ¿por qué debemos elegir $\hat{\pi}\hat{\phi}$ ordenando, como hace OP en su ejemplo? ¿Por qué no en lugar de lo contrario $\hat{\phi}\hat{\pi}$ ¿Pedir? ¿O tal vez simetrizar? O utilizar pedido normal ? ¿O algo más?

Como señala FenderLesPaul en un comentario, la ambigüedad en el orden de los operadores desaparece en el caso de OP. Pero no siempre es así.

De forma más general, durante la cuantificación, solemos sustituir las expresiones clásicas por expresiones normales ordenadas más parámetros de intercepción que parametrizan nuestra ignorancia sobre cómo ordenar los operadores. La consistencia y otros principios físicos podrían arreglar posteriormente estas ambigüedades por nosotros.

Véase también mi respuesta en Phys.SE aquí .