Existencia de una combinación lineal contable con coeficientes positivos

Question

Consideremos un espacio vectorial topológico (Hausdorff y completo) localmente convexo $V$ y un subconjunto contable $(v_k)_{k=1}^\infty \subset V$ de vectores no nulos.

$(*)$ ¿Bajo qué condiciones en este subconjunto se garantiza la existencia de una secuencia de números reales positivos $(\alpha_k)_{k=1}^\infty$ , de manera que la serie $\sum_{k=1}^\infty \alpha_k v_k$ converge (es decir, la secuencia de sus sumas parciales) converge a un vector $v \in V$ ?

La positividad de los coeficientes, $\alpha_k > 0$ para cada $k$ es el aspecto crucial de la cuestión.

Por un lado, si $V$ es un espacio de Banach, la respuesta es siempre Sí. Siempre podemos elegir $\alpha_k = c_k / \|v_k\|$ , donde $(c_k)_{k=1}^\infty$ es cualquier secuencia sumable de números positivos.

Por otro lado, considere el espacio $c_{00}$ de secuencias finitas de números reales, convertido en un espacio completo localmente convexo de la forma habitual. El subconjunto $(v_k)_{k=1}^\infty$ , donde el $v_k$ es la secuencia que es cero en todas partes excepto en la $k$ -es un ejemplo para el cual tal secuencia de $(\alpha_k)_{k=1}^\infty$ no existe. Esto está claro porque aquí se establece una condición necesaria y suficiente para la convergencia de $\sum_{k=1}^\infty \alpha_k v_k$ es que sólo un número finito de $\alpha_k$ son distintos de cero.

Así que tal vez podría plantear la pregunta de una manera ligeramente diferente. ¿Existe una propiedad bien estudiada (conjunta?) del espacio $V$ y el subconjunto $(v_k)_{k=1}^\infty$ que es suficiente (esperemos que también necesaria) para la respuesta a $(*)$ ser Sí? Esperaba que la respuesta estuviera relacionada con uno de los teoremas estándar del análisis funcional, pero aún no he reconocido el correcto.

Answer 1

Es cierto en un espacio Fréchet. Si $\|\cdot\|_k$ , $k = 0,1,2,\ldots$ es una familia de seminormas que induce la topología, elige $\alpha_j = c_j/\max\{\| v_j \|_k : k \le j\}$ para una secuencia sumable de números positivos $c_j$ .

Answer 2

Como respuesta parcial, observe los siguientes criterios necesarios (y a menudo suficientes).

Sea $E$ sea un espacio vectorial topológico (real o complejo). Digamos que una secuencia $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ en $E$ puede hacerse sumable/acotada/que converja a cero si existe una secuencia $\{\alpha_n\}_{n=1}^\infty$ de escalares reales estrictamente positivos tales que $\{\alpha_n x_n\}_{n=1}^\infty$ es sumable/acotada/convergente a cero.

Proposición. Considere las siguientes afirmaciones:

$\text{(a)}$ . $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ puede hacerse sumable;

$\text{(b)}$ . $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ puede hacerse converger a cero;

$\text{(c)}$ . $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ puede acotarse.

En todo espacio vectorial topológico $E$ uno tiene $$\text{(a)} \Longrightarrow \text{(b)} \Longleftrightarrow \text{(c)}.$$ Si $E$ es localmente convexa y secuencialmente completa, entonces $$\text{(a)} \Longleftrightarrow \text{(b)} \Longleftrightarrow \text{(c)}.$$

Prueba. $\text{(a)} \Longrightarrow \text{(b)}$ . Supongamos que $\sum_{k=1}^\infty \alpha_k x_k$ converge a $y \in E$ . Sea $s_n := \sum_{k=1}^n \alpha_k x_k$ denotan el $n$ -ésima suma parcial. Entonces $\lim_{n\to\infty} s_n = \lim_{n\to\infty} s_{n+1} = y$ , $$\lim_{n\to\infty} \alpha_{n+1} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} s_{n+1} - s_n = y - y = 0.$$

$\text{(b)} \Longrightarrow \text{(c)}$ . Toda secuencia convergente está acotada .

$\text{(c)} \Longrightarrow \text{(b)}$ . Si $\{\alpha_n x_n\}_{n=1}^\infty$ está acotada, entonces $\lim_{n\to\infty} \alpha_n \beta_n x_n = 0$ para cada secuencia $\{\beta_n\}_{n=1}^\infty$ de escalares convergentes a cero (véase, por ejemplo, Rudin, Teorema 1.30).

Supongamos ahora que $E$ es localmente convexa y secuencialmente completa. $\text{(b)} \Longrightarrow \text{(a)}$ . Supongamos que $\lim_{n\to\infty} \alpha_n x_n = 0$ . Defina $s_n := \sum_{k=1}^n \frac{\alpha_k}{2^k} x_k$ . Utilice la convexidad local para demostrar que $\{s_n\}_{n=1}^\infty$ es Cauchy, y utilizar la completitud secuencial para concluir que la serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{\alpha_k}{2^k} x_k$ converge. $\Box$

Algunas observaciones:

1. Cada una de las propiedades $\text{(a)}$ , $\text{(b)}$ y $\text{(c)}$ se aplica a todas las topologías más débiles (es decir, más gruesas), incluso a las que tienen espacios duales diferentes. Curiosamente, en los espacios localmente convexos, la propiedad $\text{(c)}$ sólo depende del par dual.

2. Si la topología de $E$ viene dada por una métrica $d$ entonces toda secuencia $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ satisface $\text{(b)}$ . Para demostrarlo, obsérvese que para cada $z \in E$ tenemos $\lim_{k\to\infty} \frac{1}{k}z = 0$ (por continuidad de la multiplicación escalar). Equivalentemente: para cada $\varepsilon > 0$ existe algún $K_\varepsilon \in \mathbb{N}_1$ para que $d(0,\frac{1}{k} z) < \varepsilon$ para todos $k \geq K_\varepsilon$ . A partir de ahí, elegimos una secuencia $\{\alpha_n\}_{n=1}^\infty$ de escalares reales estrictamente positivos de forma que $d(0,\alpha_n x_n) < \frac{1}{n}$ para todos $n\in\mathbb{N}_1$ . Entonces $\lim_{n\to\infty} \alpha_n x_n = 0$ .

3. La respuesta de Robert Israel se deduce de la observación anterior y de la Proposición.

4. También hay tvs no metrizables en las que cada secuencia satisface $\text{(b)}$ (tomar un espacio metrizable y pasar a una topología más débil). Del mismo modo, existen tvs no Fréchet donde cada secuencia satisface $\text{(a)}$ . Interesante pregunta de seguimiento : si toda secuencia satisface $\text{(b)}$ (resp. $\text{(a)}$ ), ¿existe necesariamente una topología más fina que sea metrizable (resp. Fréchet)?