desigualdad con potencia constante

Question

Dejemos que $a$ y $b$ sean dos números reales que sean $\geq 1$ .

Me pregunto si se puede obtener el siguiente límite superior $$ \frac{(a+b)^{a+b-1/2}}{a^{a-1/2}b^{b-1/2}}\leq (a+b)^{c}, $$ donde $c$ es una constante, es decir, independiente de $a$ y $b$ .

Gracias.

Answer 1

Set $a=b=x$ . A la izquierda, obtenemos $\dfrac{2^{2x}}{\sqrt{2x}}$ .

A la derecha tenemos $(2x)^c$ que para cualquier constante $c$ crece a largo plazo mucho más lentamente que $\dfrac{2^{2x}}{\sqrt{2x}}$ . Para cualquier constante $c$ y lo suficientemente grande $x$ la desigualdad deseada no se cumple.