El subconjunto de k-pequeños subconjuntos cerrados hacia abajo de un subconjunto P es k-filtrado cuando k es un cardinal regular?

Question

Dejemos que $\kappa$ sea un cardenal, y que $P$ sea un poset. Sea $\mathcal{P}_\kappa(P)$ denotan el poset de $\kappa$ -pequeños subconjuntos de $P$ y que $\mathcal{P}_\kappa^\downarrow(P)\subseteq\mathcal{P}_\kappa(P)$ sea el subconjunto formado por los subconjuntos que están cerrados hacia abajo. Entonces, según una fuente fiable, cuando $\kappa$ es regular, podemos demostrar que $\mathcal{P}^\downarrow_\kappa(P)$ es $\kappa$ -filtrado porque dado algún $\kappa$ -pequeña familia de $\kappa$ -subconjuntos pequeños, $$A_i:I\to \mathcal{P}_\kappa(P)\quad |I|<\kappa$$

el cierre a la baja de la unión sobre esta familia, $\operatorname{Cl}^\downarrow(\bigcup_{i\in I}A_i)$ es $\kappa$ -pequeño (que da un mayorante para la familia $A_i$ ).

Sin embargo, como no tengo ninguna experiencia trabajando con cardenales normales, no estoy muy seguro de cómo hacer cara o cruz con esto. ¿Por qué la regularidad de $\kappa$ implican que el cierre hacia abajo de esa unión es $\kappa$ -¿Pequeño?

Answer 1

Un cardenal $\kappa$ es regular si (y sólo si) la unión de menos de $\kappa$ muchos conjuntos de tamaño inferior a $\kappa$ sigue teniendo siempre un tamaño inferior a $\kappa$ . Eso parece ser exactamente lo que tienes aquí. Además, la unión de conjuntos cerrados hacia abajo sigue siendo cerrada hacia abajo, por lo que no es necesario tomar el cierre hacia abajo de la unión, ya que ésta ya está cerrada hacia abajo.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que el cierre a la baja de un $\kappa$ -la familia pequeña podría dejar de ser $\kappa$ -pequeño, si $P$ tiene grandes segmentos iniciales. Por ejemplo, $P$ puede no tener $\kappa$ -pequeños subconjuntos cerrados hacia abajo en absoluto (esto es cierto en el ordinal inverso $\kappa^*$ que es $\kappa$ al revés).