En coordenadas polares cilíndricas, $\nabla={\bf e}_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}+{\bf e}_{\phi}\frac1{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}+{\bf e}_z\frac{\partial}{\partial z}$ y $\frac{\partial {\bf e}_{\phi}}{\partial \phi}={\bf e}_{\phi}, \frac{\partial {\bf e}_{\phi}}{\partial \phi}={\bf e}_{\rho}$ mientras que todos los demás derivadas de los vectores base son cero. Deduzca las expresiones para $\nabla \cdot {\bf A}$ y $\nabla \times {\bf A}$ donde donde ${\bf A}=A_{\rho}{\bf e}_{\rho}+A_{\phi}{\bf e}_{\phi}+A_z{\bf e}_z$ .
Acabo de empezar esta pregunta y he empezado convirtiendo a cartesiana con ${\bf e}_{\rho}=(\cos\phi ,\sin\phi ,0), {\bf e}_{\phi}=(-\sin\phi ,\cos\phi ,0)$ y ${\bf e}_z=(0,0,1)$ y luego la computación, sin embargo esto se está volviendo rápidamente tedioso así que me preguntaba si, en primer lugar lo que estoy haciendo funcionará eventualmente?
En segundo lugar, y esta es realmente la pregunta, ¿hay una manera mejor/ más rápida de hacer esto? Realmente no estoy pidiendo aquí una solución, pero tampoco me importaría una ya que debería mostrarme lo que quiero saber para futuras preguntas.
Se agradece cualquier ayuda
Gracias
EDIT: Incluyo aquí lo que empecé a hacer, ya que dudo que sea correcto y así debería quedar más claro:
Cubriendo a los cartesianos tengo $\nabla=(\cos\phi \frac{\partial}{\partial\rho}-\sin\phi \cdot \frac1{\rho} \frac{\partial}{\partial \phi},\sin\phi \frac{\partial}{\partial\rho}+\cos\phi \cdot \frac1{\rho} \frac{\partial}{\partial \phi},\frac{\partial}{\partial z})$ y ${\bf A}=(A_{\rho}\cos\phi -A_{\phi}\sin\phi,A_{\rho}\sin\phi -A_{\phi}\cos\phi,A_z)$ y luego se calcula manualmente a partir de ahí.
