Una duda respecto a la división del campo.

Question

$\Bbb Q(\omega)= \Bbb Q(\sqrt3,\iota)$ Esto está escrito en el libro de texto que estoy siguiendo. Pero creo que se trata de una errata. Desde $\Bbb Q(\sqrt3,\iota)$ es un campo mayor. en el que $\Bbb Q(\omega)$ está contenida.

Según yo, debería serlo:
$\Bbb Q(\omega)= \Bbb Q(\sqrt3.\iota)$

Además, aquí el polinomio mínimo de $\sqrt3.\iota$ es $x^2+3$ . Así que el grado de extensión $\Bbb Q(\omega)$ en $\Bbb Q$ es $2$ y la base es $\{1,\sqrt3.\iota\}$ ¡cierto!

Answer 1

Tienes razón, el campo es $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ . No es $\mathbb{Q}(\sqrt{3}.i)$ . Es un campo más grande. Demostramos que $\sqrt{3}\not\in \mathbb{Q}(\omega)$ .

Tenga en cuenta que $\omega^2=-1-\omega$ . Así que si $\sqrt{3}$ estaban en $\mathbb{Q}(\omega)$ , lo fueran, tendríamos $\sqrt{3}=a+b\omega$ para algunos racionales $a$ y $b$ . Pero como $\sqrt{3}$ es real, debemos tener $b=0$ . Esto implica que $\sqrt{3}$ es racional, lo que no es el caso.

Observación: Para demostrar que $\mathbb{Q}(\omega)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ sólo tenemos que demostrar que $\sqrt{-3}\in \mathbb{Q}(\omega)$ y que $\omega\in \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ . Desde $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ Esto es sencillo.