Estoy leyendo un artículo en el que se da el siguiente Lagrangiano $$L[u,\rho,\phi]=L_0[u,\rho]+\phi(x)(\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho u))$$ donde $L_0$ es parte del Lagrangiano y $\phi(x)$ es el multiplicador de Lagrange, $\rho=\rho(x)$ puede entenderse como densidad, $u=u(x)\in\mathbb R^3$ es el campo de velocidad. Me parece que mi respuesta es diferente a la del autor sobre $\partial L/\partial \rho$ . Lo calculo de la siguiente manera, $$\frac{\partial L}{\partial \rho}=\frac{\partial L_0}{\partial \rho}+\phi\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\partial_t\rho+\nabla\rho\cdot u)+\nabla\cdot u\right)$$ y entonces no puedo continuar, pero el resultado del autor es $$\frac{\partial L_0}{\partial \rho}-\partial_t\phi-u\cdot\nabla \phi$$ ¿Alguien puede ayudar?
Respuesta
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Recuerde que la variación debe tomarse bajo un signo integral (lo que busca es la variación de la acción funcional). Esto nos permite utilizar la integración por partes para reescribir los términos. Comenzamos tomando la variación de la acción $S = \int d^4x L$ (sólo consideramos la variación de $\rho$ abajo):
$$\delta S = \int d^4x~\left[\delta L_0 + \phi\delta(\dot{\rho} + \nabla\cdot (\rho u))\right] = \int d^4x~\left[\frac{\partial L_0}{\partial \rho}\delta\rho + \phi\left(\frac{\partial}{\partial t}\delta\rho + \nabla\cdot (\delta\rho u)\right)\right]$$
Ahora tenemos que $\phi\frac{\partial}{\partial t}(\delta\rho) = \frac{\partial }{\partial t}(\phi \delta\rho) - \delta\rho\frac{\partial}{\partial t}\phi$ y $\phi\nabla \cdot (\delta\rho u) = \nabla\cdot(\phi\delta\rho u) - \nabla\phi\cdot u\delta\rho$ . Sustituyendo esto en la integral obtenemos
$$\delta S = \int d^4x~\left[\frac{\partial}{\partial t}(\phi \delta\rho) + \nabla\cdot(\phi\delta\rho u) + \delta\rho\left(\frac{\partial L_0}{\partial \rho} - \frac{\partial\phi}{\partial t} - \nabla\phi\cdot u\right)\right]$$
Los dos primeros términos pueden integrarse para obtener los términos superficiales: el primero directamente, el segundo utilizando la teorema de la divergencia . Los términos de superficie que asumimos desaparecen y normalmente esto se deduce de las condiciones de contorno que uno impone. Esto nos deja con
$$\delta S = \int d^4x~\left[ \frac{\partial L_0}{\partial \rho} - \frac{\partial\phi}{\partial t} - \nabla\phi\cdot u\right]\delta\rho$$
${\bf Added:}$
Otra forma más directa de hacerlo es utilizar las ecuaciones de Euler-Lagrange, que dicen que
$$0 = \frac{dL}{d\rho} - \nabla_{\mu}\left(\frac{dL}{d\rho_{,\mu}}\right) = \frac{dL}{d\rho} - \frac{d}{dt}\frac{dL}{d\dot{\rho}} - \nabla_i \frac{dL}{d\nabla_i\rho}$$
donde $\rho_{,\mu}$ es la derivada con respecto al $\mu$ La coordenada 'th y un índice repetido significa que usted debe sumar sobre ella. Al escribir $$L = L_0 + \phi(\dot{\rho} + \nabla\rho\cdot u + \rho \nabla\cdot u) $$
encontramos
$$\frac{dL}{d\rho} = \frac{dL_0}{d\rho} + \phi\nabla\cdot u,~~\frac{dL}{d\dot{\rho}} = \phi,~\frac{dL}{d\nabla_i\rho} = \phi u_i$$
que da
$$\frac{dL_0}{d\rho} + \phi\nabla\cdot u - \dot{\phi} - \nabla_i ( \phi u_i) = 0$$
que es la misma ecuación ya que $ \nabla_i ( \phi u_i) = \phi\nabla\cdot u + \nabla\phi\cdot u$ .
