Supongamos que tengo una matriz $A$ que es definida positiva y $X$ es una matriz con radio espectral inferior a $1$ (creo que esta información es irrelevante). en qué condiciones obtenemos que $X^TAX$ también es PD. Mi opinión es que $X$ tiene que ser también PD. También, olvidó mencionar que todas las matrices son cuadradas aquí.
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Syd Amerikaner
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@Qiaochu Yuan ya proporcionó una respuesta completa. No obstante, quiero añadir alguna "intuición", que es demasiado larga para un comentario:
Tenga en cuenta que $A$ es p.d si $\langle w, Aw\rangle > 0$ para todos $w\in\mathbb R^n$ con $w\neq 0_n$ . Sea $f:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^n$ sea una función. Si $f$ es un surjective función $f:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^n$ entonces para cada $w\in\mathbb R^n$ existe un $v\in\mathbb R^n$ tal que $w = f(v)$ . Por lo tanto, tenemos que $\langle w, Aw\rangle = \langle f(v), Af(v)\rangle$ . Sin embargo, puede darse el problema de que exista un $v^*\in\mathbb R^n$ con $v^*\neq 0_n$ tal que $f(v^*) = 0_n$ . En consecuencia, no podemos asegurar que $\langle f(v),Af(v)\rangle > 0$ para todos $v\in\mathbb R^n$ . Para que esto no ocurra, tenemos que suponer, además, que $f$ es un inyectiva función. Porque entonces sólo existe una $v^*\in\mathbb R^n$ tal que $f(v^*) = 0_n$ , a saber $v^* = 0_n$ . Si $f$ es sobreyectiva e inyectiva, entonces la función inversa $f^{-1}$ existe y es único, y tenemos que $\langle w,Aw\rangle > 0$ para todos $w\in\mathbb R^n$ si $\langle f(v), Af(v)\rangle > 0$ para todos $v\in\mathbb R^n$ .
En el caso especial de que $f$ es una función lineal, es decir $f(v) = Xv$ para alguna matriz $X$ tenemos que $f$ es inyectiva si $f$ es sobreyectiva. Por tanto, basta con demostrar que $f$ es inyectiva o sobreyectiva. En la mayoría de los casos es más fácil demostrar que $f$ es inyectiva, porque $f$ es inyectiva si $f(v) = 0_n$ si y sólo si $v = 0_n$ . Esto es lo que sugiere Qiaochu Yuan.
