Esto se desprende de un resultado de Klyachko. Klyachko probado :
Dejemos que $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ sean tres vectores en $\mathbb{R}^n$ . Entonces lo siguiente es equivalente:
(1) Existen matrices hermitianas $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ y $\mathfrak{c}$ con $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}= \mathfrak{c}$ y con valores propios $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ respectivamente.
(2) Existen matrices invertibles $A$ , $B$ y $C$ con $AB=C$ y los valores singulares $e^{\alpha}$ , $e^{\beta}$ y $e^{\gamma}$ respectivamente. Aquí $e^{\alpha}$ etcétera significan la exponenciación en términos.
Demostraré que $(2) \implies (1)$ implica tu afirmación (y es básicamente equivalente a ella). Llamaré a sus matrices hermitianas $X$ y $Y$ , para dejar las cartas $(A,B,C)$ claro.
Dejemos que $A=e^{X/2}$ , dejemos que $B=e^{Y/2}$ y que $AB=C$ . Sea $e^{\alpha}$ , $e^{\beta}$ y $e^{\gamma}$ sean los valores singulares de $A$ , $B$ y $C$ . Así que los valores propios de $C C^{\ast}$ son $e^{2 \gamma}$ y observamos que $C C^{\ast} = e^{X/2} e^Y e^{X/2}$ .
Utilizando $(2) \implies (1)$ , encontremos a la Hermitiana $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ y $\mathfrak{c}$ con valores propios $2 \alpha$ , $2 \beta$ y $2 \gamma$ y $\mathfrak{a}+\mathfrak{b} = \mathfrak{c}$ . Entonces $C C^{\ast}$ y $e^{\mathfrak{c}}$ son herméticos con los mismos valores propios y, conjugando por una matriz unitaria, podemos disponer que $C C^{\ast} = e^{\mathfrak{c}}$ .
Ahora, $X$ y $\mathfrak{a}$ son ambos herméticos con valores propios $2 \gamma$ , por lo que podemos hallar unitario $U$ con $\mathfrak{a} = U X U^{\ast}$ . Del mismo modo, podemos encontrar unitarios $V$ con $\mathfrak{b} = V Y V^{\ast}$ . Así que $\mathfrak{c} = U X U^{\ast} + V Y V^{\ast}$ y $e^{X/2} e^Y e^{X/2} = e^{U X U^{\ast} + V Y V^{\ast}}$ como se desee.
