Demostrar que si ${s_n}$ está acotada y es monótona, entonces $t_n =(s_1 + \cdots+ s_n)/n$ converge al mismo límite que ${s_n}$

Question

Ya he demostrado que $t_n$ es convergente utilizando el teorema de convergencia monotónica. Digamos que ${s_n}$ converge a $L_1$ y ${t_n}$ converge a $L_2$ . ¿Cómo puedo demostrar que $L_1$ = $L_2$ ?

Answer 1

Supongamos que $s_n \to s$ (esto es cierto si $s_n$ están acotados y son monótonos). Entonces $|s_n| \le B$ para algunos $B$ .

Dejemos que $\epsilon>0$ y elija $N$ tal que $|s_n - s| < {1 \over 2} \epsilon$ para todos $n \ge N$ . Ahora elija $N' \ge N$ tal que ${2BN \over N'} < {1 \over 2} \epsilon$ . Supongamos ahora que $n \ge N'$ .

Entonces \begin{eqnarray} |{s_1+\cdots + s_n \over n} - s| &=& |{(s_1-s)+\cdots + (s_n-s) \over n} | \\ &\le& |{(s_1-s)+\cdots + (s_{N-1}-s) \over n} | + |{(s_{N}-s)+\cdots + (s_n-s) \over n} | \\ &\le& {2BN \over N'} + {1 \over 2} \epsilon \\ &<& \epsilon \end{eqnarray}

Answer 2

Sugerencia: considere

$$t_{n} - L_{1} = \frac{(s_{1} - L_{1}) + (s_{2} - L_{1}) + \dots + (s_{n_0} - L_{1})}{n} + \frac{(s_{n_0} - L_{1}) + \dots + (s_{n} - L_{1})}{n - n_{0}} \frac{n - n_0}{n}$$

Answer 3

$$s_n-t_n=s_n-\frac1n\sum_{i=1}^n s_i=s_n-\frac{ns_n-\sum_{i=1}^n s_i}n =\frac1n\sum_{i=1}^n (s_n - s_i) $$ $$|s_n-t_n|\le \frac1n\sum_{i=1}^n |s_n - s_i| = \frac1n\sum_{i=1}^N |s_n - s_i| + \frac1n\sum_{i=N+1}^n |s_n - s_i| $$

Para cualquier $\epsilon>0$ hay $N>0$ , tal que para cada $n>N$ tenemos $|s_n - s_i|<\epsilon$ para cada $N<i\le n$ (¿por qué?). Por lo tanto, $$0\le\lim_{n\to\infty} |s_n-t_n|\le \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^N |s_n - s_i| + \frac{n-N}n \epsilon=n\epsilon $$ Tome $\epsilon\to0$ para terminar la prueba.