Pregunta:-
Si $a,b,c$ son números reales positivos que están en H.P. demuestre que $$\dfrac{a+b}{2a-b} + \dfrac{c+b}{2c-b} \ge 4$$
Intento de solución:-
Lo intenté por la desigualdad AM-GM, pero me quedé atascado en un paso. Mi intento fue el siguiente:-
$$\dfrac{ \dfrac{a+b}{2a-b} + \dfrac{c+b}{2c-b}}{2} \ge \sqrt{\dfrac{a+b}{2a-b} \cdot \dfrac{c+b}{2c-b}}$$
Evaluando el lado derecho de la desigualdad,
$$\left(\dfrac{a+b}{2a-b} \cdot \dfrac{c+b}{2c-b} \right) = \left( \dfrac{b^2+\left(a+c \right)b+ac}{b^2-2b\left(a+c \right)+4ac}\right)$$
Ahora, como $a,b,c$ están en H.P., por lo que obtenemos la relación $$b=\dfrac{2ac}{a+c}$$ Al sustituir este resultado en la ecuación, obtenemos
$$\dfrac{10 a^2c^2 + 3ac(a^2+c^2)}{4a^2c^2}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3(a^2+c^2)}{4ac}$$
Ahora, a partir de los cálculos anteriores, lo que he observado es que, para que la prueba sea válida, la condición $\dfrac{3(a^2+c^2)}{4ac}=\dfrac{3}{2}$ debe ser satisfecha. La conclusión final a la que llegué fue $a=c$ . Ahora bien, aunque los números seguirían estando en H.P. pero no demuestra el resultado para los números que están en H.P. y no son iguales.
También se invita a cualquier otro enfoque de la prueba.