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Para demostrar la desigualdad dada

Pregunta:-

Si $a,b,c$ son números reales positivos que están en H.P. demuestre que $$\dfrac{a+b}{2a-b} + \dfrac{c+b}{2c-b} \ge 4$$


Intento de solución:-

Lo intenté por la desigualdad AM-GM, pero me quedé atascado en un paso. Mi intento fue el siguiente:-

$$\dfrac{ \dfrac{a+b}{2a-b} + \dfrac{c+b}{2c-b}}{2} \ge \sqrt{\dfrac{a+b}{2a-b} \cdot \dfrac{c+b}{2c-b}}$$

Evaluando el lado derecho de la desigualdad,

$$\left(\dfrac{a+b}{2a-b} \cdot \dfrac{c+b}{2c-b} \right) = \left( \dfrac{b^2+\left(a+c \right)b+ac}{b^2-2b\left(a+c \right)+4ac}\right)$$

Ahora, como $a,b,c$ están en H.P., por lo que obtenemos la relación $$b=\dfrac{2ac}{a+c}$$ Al sustituir este resultado en la ecuación, obtenemos

$$\dfrac{10 a^2c^2 + 3ac(a^2+c^2)}{4a^2c^2}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3(a^2+c^2)}{4ac}$$

Ahora, a partir de los cálculos anteriores, lo que he observado es que, para que la prueba sea válida, la condición $\dfrac{3(a^2+c^2)}{4ac}=\dfrac{3}{2}$ debe ser satisfecha. La conclusión final a la que llegué fue $a=c$ . Ahora bien, aunque los números seguirían estando en H.P. pero no demuestra el resultado para los números que están en H.P. y no son iguales.


También se invita a cualquier otro enfoque de la prueba.

3voto

amakelov Puntos 71

Entonces, ¿por qué no reescribimos la condición de HP de una manera más agradable, como $$\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$$ y multipliquemos el numerador y el denominador de la primera fracción por $2/b$ . Obtenemos $$ \frac{a+b}{2a-b} = \frac{a(1/a+1/c)+2}{2a(1/a+1/c)-2} = \frac{3+a/c}{2a/c}=\frac{3c+a}{2a}$$ Del mismo modo, el otro se convierte en $\frac{3a+c}{2c}$ , por lo que lo que queremos mostrar se reduce a $$\frac{3c+a}{2a} + \frac{3a+c}{2c}\geq 4$$ que se reduce a $$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\geq 2$$ que se desprende directamente de AM-GM.

2voto

Mark Fischler Puntos 11615

El teorema que se le pide que demuestre no es verdadero en general. La condición adicional necesaria es que $a \geq b$ . Y entonces puedes hacer la prueba sin AM-GM.

Suponiendo que $(a,b,c)$ están en H.P. en el orden $$a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{x+d}, c = \frac{1}{x+2d}$$ entonces el LHS es $$ \frac{4x^2+8dx+6d^2}{x^2+2dx} $$ Considere el caso de $x^2+2dx > 0$ : $$ \frac{4x^2+8dx+6d^2}{x^2+2dx}-4 = \frac{1}{x^2+2d}\left[4x^2+8dx+6d^2 - 4(x^2+2dx) \right] = \frac{6d^2}{x^2+2d} \geq =0 $$ Consideremos ahora el caso en el que $x^2+2dx < 0$ y $d\neq 0$ : $$ \frac{4x^2+8dx+6d^2}{x^2+2dx}-4 = \frac{6d^2}{x^2+2d} < 0 $$ Así que un buen contraejemplo sería $x=3, d=-1$ , dando $a=\frac13, b = \frac12, c=1$ .

Si se añade la condición de que $a\geq b$ entonces se encuentra que las fuerzas $x^2 + 2dx \geq 0$ y la afirmación entonces es verdadera.

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