Derivación del Lagrangiano para una partícula libre

Question

Soy un novato en física. Lo siento, si las siguientes preguntas son tontas. Hace poco empecé a leer "Mecánica" de Landau y Lifshitz y enseguida me encontré con algunos obstáculos.

1. Demostrar que una partícula libre se mueve con una velocidad constante en un marco de referencia inercial ( $\S$ 3. El principio de relatividad de Galileo). La demostración comienza explicando que la lagrangiana sólo debe depender de la velocidad de la partícula ( $v^2={\bf v}^2$ ): $$L=L(v^2).$$ Por lo tanto, las ecuaciones de Lagrance serán $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\bf v}}\right)=0,$$ así que $$\frac{\partial L}{\partial {\bf v}}=\text{constant}.$$ Y aquí es donde los autores dicen

Desde $\partial L/\partial \bf v$ es una función de la velocidad solamente, se deduce que $${\bf v}=\text{constant}.$$

¿Por qué? Puedo poner $L=\|{\bf v}\|=\sqrt{v^2_x+v^2_y+v^2_z}$ . Entonces $$\frac{\partial L}{\partial {\bf v}}=\frac{2}{\sqrt{v^2_x+v^2_y+v^2_z}}\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix},$$ que seguirá siendo un vector constante $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ a medida que la partícula se mueve con un positivo no constante arbitrario $v_x$ y $v_y=v_z=0$ . ¿En qué me equivoco? Si lo estoy, ¿cómo se demuestra la afirmación citada?

2. Demostrando que $L=\frac{m v^2}2$ ( $\S$ 4. El Lagrangiano para una partícula libre). Los autores consideran un marco de referencia inercial $K$ moviéndose con una velocidad ${\bf\epsilon}$ con respecto a otro marco de referencia $K'$ Así que ${\bf v'=v+\epsilon}$ . Esto es lo que me preocupa:

Como las ecuaciones de movimiento deben tener mismo formulario en cada marco, el Lagrangiano $L(v^2)$ debe convertirse mediante esta transformación en una función $L'$ que difiere de $L(v^2)$ Si es que lo es, sólo por la derivada temporal total de una función de coordenadas y tiempo (véase el final de $\S$ 2).

En primer lugar, ¿qué hace mismo formulario ¿quieres decir? Creo que las ecuaciones deberían ser las mismas, pero si tengo razón, ¿por qué los autores no lo escriben así? En segundo lugar, se mostró en $\S$ 2 que añadir una derivada total no cambiará las ecuaciones. No había nada sobre que las derivadas totales del tiempo y las coordenadas fueran las únicas funciones , añadiendo que no cambia las ecuaciones (o su formulario , sea lo que sea lo que signifique). ¿En qué me equivoco ahora? Si no lo estoy, ¿cómo se demuestra la afirmación citada y por qué no lo han hecho los autores?

Answer 1

1. En física, a menudo se asume implícitamente que el Lagrangiano $L=L(\vec{q},\vec{v},t)$ depende suavemente de las posiciones (generalizadas) $q^i$ , las velocidades $v^i$ y el tiempo $t$ es decir, que el lagrangiano $L$ es una función diferenciable. Supongamos ahora que el lagrangiano es de la forma $$L~=~\ell\left(v^2\right),\qquad\qquad v~:=~|\vec{v}|,\tag{1}$$ donde $\ell$ es una función diferenciable. Las ecuaciones de movimiento (eom) se convierten en $$ \vec{0}~=~\frac{\partial L}{\partial \vec{q}} ~\approx~\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \vec{v}} ~=~\frac{\mathrm d }{\mathrm dt} \left(2\vec{v}~\ell^{\prime}\right) ~=~2\vec{a}~\ell^{\prime}+4\vec{v}~(\vec{a}\cdot\vec{v}) \ell^{\prime\prime}.\tag{2}$$ (Aquí el $\approx$ significa la igualdad módulo eom). Si $\ell$ es una función constante, el eom se convierte en una identidad trivial $\vec{0}\equiv \vec{0}$ . Esto es inaceptable. Por lo tanto, asumamos a partir de ahora que $\ell$ no es una función constante. Esto significa que genéricamente $\ell^{\prime}$ no es cero. Concluimos a partir de la ec. (2) que en la cáscara $$\vec{a} \parallel \vec{v},\tag{3}$$ es decir, los vectores $\vec{a}$ y $\vec{v}$ son linealmente dependientes de la cáscara. (Las palabras en la cáscara y fuera de la cáscara se refieren a si eom se satisface o no). Por lo tanto, tomando la longitud en ambos lados del vector eq. (2), obtenemos $$ 0~\approx~2a(\ell^{\prime}+2v^2\ell^{\prime\prime}),\qquad\qquad a~:=~|\vec{a}|.\tag{4}$$ Esto tiene dos ramas. La primera rama es que hay no hay aceleración, $$ \qquad \vec{a}~\approx~\vec{0},\tag{5}$$ o, de forma equivalente, un velocidad constante. La segunda rama impone una condición a la velocidad $v$ , $$\ell^{\prime}+2v^2\ell^{\prime\prime}~\approx~0.\tag{6}$$ Para tomar en serio la segunda rama (6), debemos exigir que funcione para todo velocidades $v$ no sólo para unas pocas velocidades aisladas $v$ . Por lo tanto, la ec. (6) se convierte en una EDO de segundo orden para la $\ell$ función. La solución completa es precisamente el contraejemplo de OP $$L~=~ \ell\left(v^2\right)~=~\alpha \sqrt{v^2}+\beta~=~\alpha v+\beta,\tag{7}$$ donde $\alpha$ y $\beta$ son dos constantes de integración. Esto es diferenciable wrt. la velocidad $v=|\vec{v}|$ pero es no diferenciable con respecto a la velocidad $\vec{v}$ en $\vec{v}=\vec{0}$ si $\alpha\neq 0$ . Por lo tanto, la segunda rama (6) se descarta. Así, el eom es la primera rama estándar (5). $\Box$

2. En primer lugar, la definición de invarianza de forma se discute en este Correo de Phys.SE. Concretamente, Landau y Lifshitz entienden por invariancia de forma que si el lagrangiano es $$L~=~\ell\left(v^2\right)\tag{8}$$ en el marco $K$ , debe ser $$L^\prime~=~\ell\left(v^{\prime 2}\right)\tag{9}$$ en el marco $K^{\prime}$ . Aquí $$\vec{v}^{\prime }~=~\vec{v}+\vec{\epsilon}\tag{10}$$ es un Transformación galilea .

   En segundo lugar, OP pregunta si añadir una derivada temporal total al Lagrangiano $$L ~\longrightarrow~ L+\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}\tag{11}$$ ¿es lo único que no cambiaría el eom? No, por ejemplo, escalando el lagrangiano $$L ~\longrightarrow~ \alpha L\tag{12}$$ con un factor global $\alpha$ también deja el eom inalterado. Ver también Wikilibros . Sin embargo, ya sabemos que todos los lagrangianos de la forma (8) y (9) conducen al mismo eom (5). (Recordemos que la aceleración es una noción absoluta bajo transformaciones galileanas).

   En cambio, interpreto que el argumento de Landau y Lifshitz es que quieren manifiestamente implementar Invariancia galileana a través de Teorema de Noether exigiendo que un cambio (infinitesimal) $$ \Delta L~:=~L^\prime-L ~=~2(\vec{v}\cdot\vec{\epsilon})\ell^{\prime} \tag{13}$$ del Lagrangiano es siempre una derivada temporal total $$\Delta L~=~\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}\tag{14}$$ incluso fuera del caparazón.

   Pregunta: En general, ¿cómo podemos saber/identificar correctamente si una expresión $\Delta L$ es una derivada temporal total (14), o no?

   Ejemplo: La expresión $q^2 +2t\vec{q}\cdot \vec{v}$ resulta ser una derivada total del tiempo, pero este hecho puede ser fácil de pasar por alto a primera vista. La lección es que hay que tener mucho cuidado al afirmar que una derivada temporal total debe tener tal o cual forma. Es fácil pasar por alto las posibilidades.

   Pues bien, una prueba infalible (aunque hay que admitir que es un poco pesada) es aplicar el Euler-Lagrange en la expresión (13), y comprobar si es idénticamente cero fuera de la cáscara, o no. (Curiosamente, esta prueba es a la vez una condición necesaria y suficiente, pero esa es otra historia .) Calculamos: $$\begin{align} \vec{0} &~=~ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial \Delta L}{\partial \vec{v}} -\frac{\partial \Delta L}{\partial \vec{q}} \\ &~=~4\vec{\epsilon}~(\vec{a}\cdot\vec{v}) \ell^{\prime\prime} +4\vec{v}~(\vec{a}\cdot\vec{\epsilon}) \ell^{\prime\prime} +4\vec{a}~(\vec{v}\cdot\vec{\epsilon}) \ell^{\prime\prime} +8\vec{v}~(\vec{v}\cdot\vec{\epsilon})(\vec{a}\cdot\vec{v}) \ell^{\prime\prime\prime}. \tag{15}\end{align}$$ Dado que la ec. (15) debería ser válida para cualquier configuración fuera de la cáscara, podemos, por ejemplo, elegir $$ \vec{a}~\parallel~\vec{v}~\perp~\vec{\epsilon}.\tag{16}$$ Entonces la ec. (15) se reduce a $$ \vec{0}~=~ 4\vec{\epsilon} ~(\pm a v) \ell^{\prime\prime}. \tag{17}$$ Podemos suponer que $\vec{\epsilon}\neq\vec{0}$ . Arbitrariedad de $a$ y $v$ implica que $$\ell^{\prime\prime}~=~0.\tag{18}$$ (A la inversa, es fácil comprobar que la ec. (18) implica la ec. (15)). La solución completa de la ec. (18) es el Lagrangiano estándar no relativista para una partícula libre, $$L~=~ \ell\left(v^2\right)~=~\alpha v^2+\beta, \tag{19}$$ donde $\alpha$ y $\beta$ son dos constantes de integración. La ecuación (19) es el resultado principal. Alternativamente, el resultado principal (19) se deduce directamente del siguiente lema.

   Lema: Si $F(\vec{q}, \vec{v}, \vec{a}, \vec{j}, \ldots, t)$ en la ecuación (14) es un función local y si $\Delta L(\vec{q}, \vec{v}, \vec{a}, \vec{j}, \ldots, t)$ no depende de las derivadas temporales superiores $\vec{a}$ , $\vec{j}$ , $\ldots$ entonces $F$ no puede depender de las derivadas temporales $\vec{v}, \vec{a}, \vec{j}, \ldots$ . Esto implica a su vez que $\Delta L(\vec{q}, \vec{v}, t)$ es un función afín de $\vec{v}$ .

   Dejamos la demostración del lema como ejercicio para el lector.

   El lema y la ecuación (13) indican que $\ell^{\prime}$ es independiente de $\vec{v}$ lo que nos lleva de nuevo al resultado principal (19). $\Box$

3. Para más información sobre la invariancia galileana, véase también este Puesto de Phys.SE.

Answer 2

La respuesta de Qmechanic es buena, y sólo quiero comentar (pero no puedo) dos pequeños errores en la lógica de la derivación para la primera parte, pero que no afecta a la respuesta final.

Desde $(2)$ vemos que $\vec{a} \approx \vec{0}$ resuelve la ecuación. Ahora, suponiendo que que $\vec{a} \neq \vec{0}$ entonces obtenemos la afirmación de que on-shell $\vec{a} ~||~ \vec{v}$ . Al fin y al cabo, no existe la noción de vectores "paralelos" si uno de ellos es el vector cero.

La siguiente afirmación no se obtiene tomando la longitud en ambos lados de la ecuación. Esto se debe a que no sabemos si $|\vec{x} + \vec{y} | = |\vec{x}|+|\vec{y}|$ o $|\vec{x}|-|\vec{y}|$ . El primero es cuando los dos vectores apuntan en la misma dirección y el segundo es cuando apuntan en direcciones opuestas.

En lugar de ello, salpique con $\vec{v}$ . Entonces uno se pone \begin{align} 2(\vec{a}.\vec{v})(l'+2v^2 l'') \approx 0, \end{align} por lo que a partir de la suposición de que ni $\vec{a}$ ni $\vec{v}$ son idénticamente 0, lo que hay en la otra paréntesis desaparece. Entonces el resultado de que esta rama es mala sigue, dejándonos con $\vec{a} \approx \vec{0}$ .

Espero que haya sido útil :)

Answer 3

También Qmechanic dio la respuesta correcta, creo que está sobrecargado, porque en realidad no hay necesidad de utilizar las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Euler-Lagrange) para responder a la segunda parte de la pregunta OP al menos.

En realidad se puede simplemente generalizar el enfoque original de Landau a esta cuestión para obtener una respuesta, así que lo mencionaré aquí en detalle:

Supongamos que $L\left(\vec{v}^{2n}\right)$ ( $2n$ es tener valor escalar) es la Lagrangiana de una partícula libre en marco inercial $K$ . supongamos otro marco de referencia inercial $K'$ que se mueve en relación con $K$ con una velocidad infinitesimal $\vec{\varepsilon}$ el Lagrangiano $L'=L\left[\left(\vec{v}+\vec{\varepsilon}\right)^{2n}\right]$ en $K'$ que describe la partícula debe ser el mismo Lagrangiano que en $K$ hasta una derivada de tiempo total.

Para demostrarlo, ampliamos $\left(\vec{v}+\vec{\varepsilon}\right)^{2n}$ en primer orden de $\vec{\varepsilon}$ para encontrarlo, suponemos al principio que $n=1$ entonces: $$\left(\vec{v}+\vec{\varepsilon}\right)^{2}\simeq v^{2}+2\vec{\varepsilon}\cdot\vec{v}$$ entonces para encontrar para $n=2$ escribimos: $$\left(\vec{v}+\vec{\varepsilon}\right)^{4}\simeq\left(v^{2}+2\vec{\varepsilon}\cdot\vec{v}\right)\left(v^{2}+2\vec{\varepsilon}\cdot\vec{v}\right)\simeq v^{4}+4\left(\vec{\varepsilon}\cdot\vec{v}\right)v^{2}$$ repetir esto un par de veces te asegura eso: $$\left(\vec{v}+\vec{\varepsilon}\right)^{2n}=v^{2n}+2n\left(\vec{\varepsilon}\cdot\vec{v}\right)v^{2n-2}+O\left(\varepsilon^{2}\right)$$ entonces podemos escribir expandiendo el Lagrangiano que $$L\left[\left(\vec{v}+\vec{\varepsilon}\right)^{2n}\right] = L\left(\vec{v}^{2n}\right)+2n\left(\vec{\varepsilon}\cdot\vec{v}\right)v^{2n-2}\frac{\partial L}{\partial\vec{v}^{2n}}+O\left(\varepsilon^{2}\right) \simeq L+g\left(v\right)\sum_{i}\varepsilon_{i}\frac{dx_{i}}{dt}$$ Dónde: $$g\left(\left\Vert \vec{v}\right\Vert \right)\equiv2n\, v^{2n-2}\frac{\partial L}{\partial v^{2n}}$$ porque $L\left(v\right)$ debe quedar claro que $g$ tiene que ser una función de la velocidad solamente (no de la velocidad o de sus componentes), también vemos que el signo de la suma, es en realidad ya una derivada de tiempo completo por sí mismo, así que para mantener el segundo término derivado de tiempo completo, vemos que la única opción posible para nosotros es tener $g\left(v\right)=const$ De ello se deduce inmediatamente que $n=1$ (nota que $n>0$ ) y $L=\alpha v^{2}+\beta$ .