¿Es un determinado subconjunto de $M_2(\mathbb{R})$ ¿Cerrado?

Question

Intento demostrar que el conjunto M de todas las matrices del espacio lineal normado $M_2(\mathbb{R})$ tal que ambos valores propios son reales es cerrado (bajo topología métrica; métrica inducida por la norma).

A continuación, mi intento. Recuerdo la propiedad de que los subespacios de dimensión finita de los espacios normados son completos. Y como los espacios métricos completos son cerrados, si puedo demostrar que es un subespacio vectorial de $M_2(\mathbb{R})$ Ya he terminado. Pero no sé si M es cerrado bajo adición "vectorial". ¿Es cierto que la suma de dos matrices de "valores propios reales" tiene valores propios reales?

Answer 1

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Así que no es un subespacio. Pero para demostrar que es cerrado, se puede producir una función continua $f : M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ tal que $M = f^{-1}([0,\infty))$ . Pista: mira el polinomio característico de una matriz $A$ y piensa en el discriminante de una ecuación cuadrática.

Answer 2

No es cierto, como muestra el contraejemplo de Nate Eldredge.

Para su pregunta original, puede verlo de esta manera:

el valor propio de $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ son las raíces del polinomio

$$P(x) = \begin{vmatrix} a-x & b \\ c & d-x \end{vmatrix}$$

Se trata de un polinomio de 2º grado, por lo que tiene raíces reales si el discriminante es positivo.

Por lo tanto, si $\Delta(a,b,c,d)$ es el discriminante de $P$ el conjunto de matrices con valores propios reales es

$$ \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid (a,b,c,d)\in \Bbb R, \Delta(a,b,c,d) \geq 0 \right\} $$

Así que si puedes demostrar que $\Delta(a,b,c,d)$ es continua, has ganado (¿ves por qué?)